Интегральная формула Лобачевского

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Сентябрь 2017 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике интегралы Дирихле играют важную роль в теории распределений . Мы можем рассматривать интеграл Дирихле в терминах распределений.

Одним из них является несобственный интеграл функции sinc по положительной действительной оси,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Пусть будет непрерывной функцией, удовлетворяющей -периодическому предположению , и , для . Если интеграл взять как несобственный интеграл Римана , то имеем интегральную формулу Дирихле Лобачевского${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle f(x+\пи)=f(x)}$${\displaystyle f(\пи -x)=f(x)}$${\displaystyle 0\leq x<\infty }$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(x)\,dx}$

Более того, мы имеем следующее тождество как расширение интегральной формулы Лобачевского- Дирихле ^[1]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(t)\,dt-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}tf(t)\,dt.}$

В качестве приложения возьмите . Затем${\displaystyle f(x)=1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}\,dx={\frac {\pi }{3}}.}$

• Харди, ГХ (1909). «Интеграл ». The Mathematical Gazette . 5 (80): 98–103. JSTOR  3602798.${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$
• Диксон, Альфред Кардью (1912). «Доказательство того ». The Mathematical Gazette . 6 (96): 223–224. JSTOR  3604314.${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$