Список числовых полей с классом номер один

Это неполный список числовых полей с классом номер 1.

Считается, что таких числовых полей бесконечно много, но это не доказано. ^[1]

Определение

Номер класса числового поля по определению равен порядку идеальной группы классов его кольца целых чисел .

Таким образом, числовое поле имеет класс номер 1 тогда и только тогда, когда его кольцо целых чисел является областью главных идеалов (и, следовательно, областью уникальной факторизации ). Основная теорема арифметики гласит, что Q имеет класс номер 1.

Квадратичные числовые поля

Они имеют вид K = Q ( √ d ) для целого числа d, свободного от квадратов .

Действительные квадратичные поля

K называется действительным квадратичным, если d > 0. K имеет номер класса 1 для следующих значений d (последовательность A003172 в OEIS ):

2*, 3, 5*, 6, 7, 11, 13*, 14, 17*, 19, 21, 22, 23, 29*, 31, 33, 37*, 38, 41*, 43, 46, 47 , 53*, 57, 59, 61*, 62, 67, 69, 71, 73*, 77, 83, 86, 89*, 93, 94, 97*, ... ^[1]^[2]

(завершить до d = 100)

*: Номер узкого класса также равен 1 (см. соответствующую последовательность A003655 в OEIS).

Несмотря на то, что, по-видимому, имеет место для этих малых значений, не все простые числа, которые сравнимы с 1 по модулю 4, присутствуют в этом списке, в частности, поля Q ( √ d ) для d = 229 и d = 257 оба имеют номер класса больше 1 (фактически равный 3 в обоих случаях). ^[3] Предполагается , что плотность таких простых чисел, для которых Q ( √ d ) имеет номер класса 1, не равна нулю и на самом деле близка к 76%, ^[4] однако даже неизвестно, существует ли бесконечно много действительных квадратичных полей с номером класса 1. ^[1]

Мнимые квадратичные поля

K имеет класс номер 1 точно для 9 следующих отрицательных значений d :

−1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163. ^[1]

(По определению, все они также имеют узкий класс номер 1.)

Кубические поля

Абсолютно реальное кубическое поле

Первые 60 полностью действительных кубических полей (упорядоченных по дискриминанту ) имеют класс номер один. Другими словами, все кубические поля дискриминанта от 0 до 1944 (включительно) имеют класс номер один. Следующее полностью действительное кубическое поле (дискриминанта 1957) имеет класс номер два. Полиномы, определяющие полностью действительные кубические поля, которые имеют дискриминанты меньше 500 с классом номер один, следующие: ^[5]

x ³ − x ² − 2 x + 1 (дискриминант 49)
x ³ − 3 x − 1 (дискриминант 81)
x ³ − x ² − 3 x + 1 (дискриминант 148)
x ³ − x ² − 4 x − 1 (дискриминант 169)
x ³ − 4 x − 1 (дискриминант 229)
x ³ − x ² − 4 x + 3 (дискриминант 257)
x ³ − x ² − 4 x + 2 (дискриминант 316)
x ³ − x ² − 4 x + 1 (дискриминант 321)
x ³ − x ² − 6 x + 7 (дискриминант 361)
x ³ − x ² − 5 x − 1 (дискриминант 404)
x ³ − x ² − 5 x + 4 (дискриминант 469)
x ³ − 5 x − 1 (дискриминант 473)

Комплексное кубическое поле

Все комплексные кубические поля с дискриминантом больше −500 имеют класс номер один, за исключением полей с дискриминантами −283, −331 и −491, которые имеют класс номер 2. Действительный корень полинома для −23 является обратной величиной пластического отношения (с отрицательным знаком), тогда как для −31 является обратной величиной суперзолотого отношения . Полиномы, определяющие комплексные кубические поля, которые имеют класс номер один и дискриминант больше −500, следующие: ^[5]

x ³ − x ² + 1 (дискриминант −23)
x ³ + x − 1 (дискриминант −31)
x ³ − x ² + x + 1 (дискриминант −44)
x ³ + 2 x − 1 (дискриминант −59)
x ³ − 2 x − 2 (дискриминант −76)
x ³ − x ² + x − 2 (дискриминант −83)
x ³ − x ² + 2 x + 1 (дискриминант −87)
x ³ − x − 2 (дискриминант −104)
x ³ − x ² + 3 x − 2 (дискриминант −107)
x ³ − 2 (дискриминант −108)
x ³ − x ² − 2 (дискриминант −116)
x ³ + 3 x − 1 (дискриминант −135)
x ³ − x ² + x + 2 (дискриминант −139)
x ³ + 2 x − 2 (дискриминант −140)
x ³ − x ² − 2 x − 2 (дискриминант −152)
x ³ − x ² − x + 3 (дискриминант −172)
x ³ − x ² + 2 x − 3 (дискриминант −175)
x ³ − x ² + 4 x − 1 (дискриминант −199)
x ³ − x ² + 2 x + 2 (дискриминант −200)
x ³ − x ² + x − 3 (дискриминант −204)
x ³ − 2 x − 3 (дискриминант −211)
x ³ − x ² + 4 x − 2 (дискриминант −212)
x ³ + 3 x − 2 (дискриминант −216)
x ³ − x ² + 3 (дискриминант −231)
x ³ − x − 3 (дискриминант −239)
x ³ − 3 (дискриминант −243)
x ³ + x − 6 (дискриминант −244)
x ³ + x − 3 (дискриминант −247)
x ³ − x ² − 3 (дискриминант −255)
x ³ − x ² − 3 x + 5 (дискриминант −268)
x ³ − x ² − 3 x − 3 (дискриминант −300)
x ³ − x ² + 3 x + 2 (дискриминант −307)
x ³ − 3 x − 4 (дискриминант −324)
x ³ − x ² − 2 x − 3 (дискриминант −327)
x ³ − x ² + 4 x + 1 (дискриминант −335)
x ³ − x ² − x + 4 (дискриминант −339)
x ³ + 3 x − 3 (дискриминант −351)
x ³ − x ² + x + 7 (дискриминант −356)
x ³ + 4 x − 2 (дискриминант −364)
x ³ − x ² + 2 x + 3 (дискриминант −367)
x ³ − x ² + x − 4 (дискриминант −379)
x ³ − x ² + 5 x − 2 (дискриминант −411)
x ³ − 4 x − 5 (дискриминант −419)
x ³ − x ² + 8 (дискриминант −424)
x ³ − x − 8 (дискриминант −431)
x ³ + x − 4 (дискриминант −436)
x ³ − x ² − 2 x + 5 (дискриминант −439)
x ³ + 2 x − 8 (дискриминант −440)
x ³ − x ² − 5 x + 8 (дискриминант −451)
x ³ + 3 x − 8 (дискриминант −459)
x ³ − x ² + 5 x − 3 (дискриминант −460)
x ³ − 5 x − 6 (дискриминант −472)
x ³ − x ² + 4 x + 2 (дискриминант −484)
x ³ − x ² + 3 x + 3 (дискриминант −492)
x ³ + 4 x − 3 (дискриминант −499)

Циклотомические поля

Ниже приведен полный список из тридцати n , для которых поле Q (ζ _n ) имеет номер класса 1: ^[6]^[7]

1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84.

(Обратите внимание, что значения n , сравнимые с 2 по модулю 4, являются избыточными, поскольку Q (ζ _2n ) = Q (ζ _n ), когда n нечетно.)

С другой стороны, известно, что максимальные вещественные подполя Q (cos(2π/2 ⁿ )) циклотомических полей Q (ζ _{2 ⁿ} ) степени 2 (где n — положительное целое число) имеют классное число 1 для n≤8 ^[8] , и предполагается, что они имеют классное число 1 для всех n . Вебер показал, что эти поля имеют нечетное классное число. В 2009 году Фукуда и Комацу показали, что классные числа этих полей не имеют простых множителей, меньших 10 ⁷ , ^[9] и позже улучшили эту границу до 10 ⁹ . ^[10] Эти поля являются n -ными слоями циклотомического Z ₂ -расширения Q . Также в 2009 году Морисава показал, что классные числа слоев циклотомического Z ₃ -расширения Q не имеют простых множителей, меньших 10 ⁴ . ^[11] Коутс поднял вопрос о том, имеет ли каждый слой циклотомического Z _p -расширения Q для всех простых чисел p номер класса 1. ^[^{необходима ссылка}^]

Поля CM

Одновременно обобщающим случаем мнимых квадратичных полей и циклотомических полей является случай поля CM K , т. е. полностью мнимого квадратичного расширения полностью вещественного поля . В 1974 году Гарольд Старк предположил, что существует конечное число полей CM класса номер 1. ^[12] Он показал, что существует конечное число полей фиксированной степени. Вскоре после этого Эндрю Одлыжко показал, что существует только конечное число полей CM Галуа класса номер 1. ^[13] В 2001 году В. Кумар Мурти показал, что из всех полей CM, замыкание Галуа которых имеет разрешимую группу Галуа, только конечное число имеет класс номер 1. ^[14]

Полный список 172 абелевых полей КМ класса номер 1 был определен в начале 1990-х годов Кеном Ямамурой и доступен на страницах 915–919 его статьи по этой теме. ^[15] Объединение этого списка с работой Стефана Лубутена и Рётаро Оказаки дает полный список полей КМ четвертой степени класса номер 1. ^[16]

Смотрите также

Примечания

^ abcd Глава I, раздел 6, стр. 37 из Нойкирха 1999 г.
^ Дембеле, Лассина (2005). «Явные вычисления модулярных форм Гильберта на Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}» (PDF) . Эксп. Математика . 14 (4): 457–466. дои : 10.1080/10586458.2005.10128939. ISSN 1058-6458. S2CID 9088028. Збл 1152.11328.
^ Х. Коэн, Курс вычислительной алгебраической теории чисел , GTM 138, Springer Verlag (1993), Приложение B2, стр. 507
^ Х. Коэн и Х. В. Ленстра, Эвристика групп классов числовых полей, Теория чисел , Noordwijkerhout 1983, Proc. 13-е издание «Арифметические журналы», изд. Х. Ягер, лектор. Заметки по математике. 1068, Springer-Verlag, 1984, стр. 33–62.
^ ab Таблицы доступны в исходном коде Pari
^ Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомические поля . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 83 (2nd ed.). Springer-Verlag . Теорема 11.1. ISBN 0-387-94762-0. Збл 0966.11047.
^ Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A005848 (Циклотомические поля с классом номер 1 (или с уникальной факторизацией).)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 2024-03-20 .
^ Дж. К. Миллер, Числа классов вполне вещественных полей и приложения к проблеме чисел классов Вебера, https://arxiv.org/abs/1405.1094
^ Фукуда, Такаши; Комацу, Кейичи (2009). «Проблема чисел классов Вебера в циклотомическом -расширении ». Exp. Math . 18 (2): 213–222. doi :10.1080/10586458.2009.10128896. ISSN 1058-6458. MR 2549691. S2CID 31421633. Zbl 1189.11033. $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Q}$
^ Фукуда, Такаши; Комацу, Кейичи (2011). «Проблема чисел классов Вебера в циклотомическом -расширении III». Int. J. Number Theory . 7 (6): 1627–1635. doi :10.1142/S1793042111004782. ISSN 1793-7310. MR 2835816. S2CID 121397082. Zbl 1226.11119. $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Q}$
^ Морисава, Такаюки (2009). «Проблема числа классов в циклотомическом Z 3 {\displaystyle \mathbb {Z} _{3}} -расширении Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ». Tokyo J. Math . 32 (2): 549–558. doi : 10.3836/tjm/1264170249 . ISSN 0387-3870. MR 2589962. Zbl 1205.11116.
^ Старк, Гарольд (1974), «Некоторые эффективные случаи теоремы Брауэра–Зигеля», Inventiones Mathematicae , 23 (2): 135–152, Bibcode : 1974InMat..23..135S, doi : 10.1007/bf01405166, hdl : 10338.dmlcz/120573 , S2CID 119482000
^ Одлыжко, Эндрю (1975), «Некоторые аналитические оценки чисел классов и дискриминантов», Inventiones Mathematicae , 29 (3): 275–286, Bibcode : 1975InMat..29..275O, doi : 10.1007/bf01389854, S2CID 119348804
^ Murty, V. Kumar (2001), «Числа классов CM-полей с разрешимым нормальным замыканием», Compositio Mathematica , 127 (3): 273–287, doi : 10.1023/A:1017589432526
^ Ямамура, Кен (1994), «Определение мнимых абелевых числовых полей с классом номер один», Математика вычислений , 62 (206): 899–921, Bibcode : 1994MaCom..62..899Y, doi : 10.2307/2153549 , JSTOR 2153549
^ Лубутен, Стефан; Оказаки, Рётаро (1994), «Определение всех ненормальных четвертичных CM-полей и всех неабелевых нормальных восьмеричных CM-полей с классом номер один», Acta Arithmetica , 67 (1): 47–62, doi : 10.4064/aa-67-1-47-62

Ссылки

Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

[neu-1] Глава I, раздел 6, стр. 37 из Нойкирха 1999 г.

[2] Дембеле, Лассина (2005). «Явные вычисления модулярных форм Гильберта на Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}» (PDF) . Эксп. Математика . 14 (4): 457–466. дои : 10.1080/10586458.2005.10128939. ISSN 1058-6458. S2CID 9088028. Збл 1152.11328.

[3] Х. Коэн, Курс вычислительной алгебраической теории чисел , GTM 138, Springer Verlag (1993), Приложение B2, стр. 507

[4] Х. Коэн и Х. В. Ленстра, Эвристика групп классов числовых полей, Теория чисел , Noordwijkerhout 1983, Proc. 13-е издание «Арифметические журналы», изд. Х. Ягер, лектор. Заметки по математике. 1068, Springer-Verlag, 1984, стр. 33–62.

[pari-5] Таблицы доступны в исходном коде Pari

[6] Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомические поля . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 83 (2nd ed.). Springer-Verlag . Теорема 11.1. ISBN 0-387-94762-0. Збл 0966.11047.

[7] Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A005848 (Циклотомические поля с классом номер 1 (или с уникальной факторизацией).)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 2024-03-20 .

[8] Дж. К. Миллер, Числа классов вполне вещественных полей и приложения к проблеме чисел классов Вебера, https://arxiv.org/abs/1405.1094

[Exp2009-9] Фукуда, Такаши; Комацу, Кейичи (2009). «Проблема чисел классов Вебера в циклотомическом -расширении ». Exp. Math . 18 (2): 213–222. doi :10.1080/10586458.2009.10128896. ISSN 1058-6458. MR 2549691. S2CID 31421633. Zbl 1189.11033. $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Q}$

[10] Фукуда, Такаши; Комацу, Кейичи (2011). «Проблема чисел классов Вебера в циклотомическом -расширении III». Int. J. Number Theory . 7 (6): 1627–1635. doi :10.1142/S1793042111004782. ISSN 1793-7310. MR 2835816. S2CID 121397082. Zbl 1226.11119. $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Q}$

[11] Морисава, Такаюки (2009). «Проблема числа классов в циклотомическом Z 3 {\displaystyle \mathbb {Z} _{3}} -расширении Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ». Tokyo J. Math . 32 (2): 549–558. doi : 10.3836/tjm/1264170249 . ISSN 0387-3870. MR 2589962. Zbl 1205.11116.

[12] Старк, Гарольд (1974), «Некоторые эффективные случаи теоремы Брауэра–Зигеля», Inventiones Mathematicae , 23 (2): 135–152, Bibcode : 1974InMat..23..135S, doi : 10.1007/bf01405166, hdl : 10338.dmlcz/120573 , S2CID 119482000

[13] Одлыжко, Эндрю (1975), «Некоторые аналитические оценки чисел классов и дискриминантов», Inventiones Mathematicae , 29 (3): 275–286, Bibcode : 1975InMat..29..275O, doi : 10.1007/bf01389854, S2CID 119348804

[14] Murty, V. Kumar (2001), «Числа классов CM-полей с разрешимым нормальным замыканием», Compositio Mathematica , 127 (3): 273–287, doi : 10.1023/A:1017589432526

[15] Ямамура, Кен (1994), «Определение мнимых абелевых числовых полей с классом номер один», Математика вычислений , 62 (206): 899–921, Bibcode : 1994MaCom..62..899Y, doi : 10.2307/2153549 , JSTOR 2153549

[16] Лубутен, Стефан; Оказаки, Рётаро (1994), «Определение всех ненормальных четвертичных CM-полей и всех неабелевых нормальных восьмеричных CM-полей с классом номер один», Acta Arithmetica , 67 (1): 47–62, doi : 10.4064/aa-67-1-47-62