Число Дотти
Математическая константа, связанная с функцией косинуса
Число Дотти — это единственная действительная неподвижная точка функции косинуса .

В математике число Дотти или константа косинуса — это константа , которая является единственным действительным корнем уравнения.

потому что ⁡ х = х {\displaystyle \cos x=x} ,

где аргумент выражен в радианах . потому что {\displaystyle \cos}

Десятичное разложение числа Дотти определяется по формуле:

Д =0,739 085 133 215 160 641 655 312 087 673 ... (последовательность A003957 в OEIS ).

Так как убывает и ее производная не равна нулю при , она пересекает ноль только в одной точке. Это означает, что уравнение имеет только одно действительное решение. Это единственная вещественная неподвижная точка косинусной функции и нетривиальный пример универсальной притягивающей неподвижной точки. Это также трансцендентное число из-за теоремы Линдемана–Вейерштрасса . [1] Обобщенный случай для комплексной переменной имеет бесконечно много корней, но в отличие от числа Дотти они не являются притягивающими неподвижными точками. потому что ⁡ ( х ) − х {\displaystyle \cos(x)-x} потому что ⁡ ( х ) − х = 0 {\displaystyle \cos(x)-x=0} потому что ⁡ ( х ) = х {\displaystyle \cos(x)=x} потому что ⁡ з = з {\displaystyle \cos z=z} з {\displaystyle z}

Решение квадрисечения круга на четыре части одинаковой площади с хордами, выходящими из одной точки, можно выразить через число Дотти.

История

Константа появилась в публикациях еще в 1860-х годах. [2] Норайр Аракелян использовал строчную букву айб (ա) из армянского алфавита для обозначения константы. [2]

Название константы было придумано Сэмюэлем Р. Капланом в 2007 году. Оно произошло от профессора французского языка по имени Дотти, которая наблюдала за числом, многократно нажимая кнопку косинуса на своем калькуляторе. [3] [nb 1]

Число Дотти, для которого точное разложение в ряд можно получить с помощью формулы Фаа ди Бруно, имеет интересные связи с задачами Кеплера и круга Бертрана. [5]

Идентичности

Число Дотти появляется в замкнутой форме выражения некоторых интегралов : [6] [7]

∫ 0 ∞ вн ⁡ ( 4 ( х + грех ⁡ х ) 2 + π 2 4 ( х − грех ⁡ х ) 2 + π 2 ) г х = π 2 − 2 π Д {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {4\left(x+\sinh x\right)^{2}+\pi ^{2}}{4(x-\sinh x)^{2}+\pi ^{2}}}\right)\mathrm {d} x=\pi ^{2}-2\pi D}
∫ 0 ∞ 3 π 2 + 4 ( х − грех ⁡ х ) 2 ( 3 π 2 + 4 ( х − грех ⁡ х ) 2 ) 2 + 16 π 2 ( х − грех ⁡ х ) 2 г х = 1 8 + 8 1 − Д 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {3\pi ^{2}+4(x-\sinh x)^{2}}{(3\pi ^{2}+4 (x-\sinh x)^{2})^{2}+16\pi ^{2}(x-\sinh x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{8+8{\sqrt {1-D^{2}}}}}}

Используя ряд Тейлора для обратной функции (или, что эквивалентно, теорему Лагранжа об обращении ), число Дотти можно выразить в виде бесконечного ряда : ф ( х ) = потому что ⁡ ( х ) − х {\displaystyle f(x)=\cos(x)-x} π 2 {\textstyle {\frac {\pi }{2}}}

Д = π 2 + ∑ н о г г а н π н {\displaystyle D={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {odd} }a_{n}\pi ^{n}}

где каждое из них является рациональным числом, определяемым для нечетного n как [3] [8] [9] [nb 2] а н {\displaystyle а_{н}}

а н = 1 н ! 2 н лим м → π 2 ∂ н − 1 ∂ м н − 1 ( потому что ⁡ м м − π / 2 − 1 ) − н = − 1 4 , − 1 768 , − 1 61440 , − 43 165150720 , … {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}

Число Дотти можно также выразить как:

Д = 1 − ( 2 я 1 2 − 1 ( 1 2 , 3 2 ) − 1 ) 2 , {\displaystyle D={\sqrt {1-\left(2I_{\frac {1}{2}}^{-1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)-1\right)^{2}}},}

где — обратная функция регуляризованной бета-функции . Это значение можно получить с помощью уравнения Кеплера , а также других эквивалентных замкнутых форм. [5] я − 1 {\displaystyle Я^{-1}}

В электронных таблицах Microsoft Excel и LibreOffice Calc число Дотти можно выразить в закрытом виде как . В системе компьютерной алгебры Mathematica число Дотти равно .SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2,1/2,3/2)-1)^2) Sqrt[1 - (2 InverseBetaRegularized[1/2, 1/2, 3/2] - 1)^2]

Еще одно представление в закрытой форме:

Д = − танг ⁡ ( 2  арктанх ( 1 3 ИнвТ ⁡ ( 1 4 , 3 ) ) ) = − 2 3 ИнвТ ⁡ ( 1 4 , 3 ) ИнвТ 2 ⁡ ( 1 4 , 3 ) + 3 , {\displaystyle D=-\tanh \left(2{\text{ arctanh}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\operatorname {InvT} \left({\frac {1}{4}},3\right)\right)\right)=-{\frac {2{\sqrt {3}}{\operatorname {InvT} \left({\frac {1}{4}},3\right)}}{\operatorname {InvT} ^{2}\left({\frac {1}{4}},3\right)+3}},}

где - обратная функция выживания распределения Стьюдента . В Microsoft Excel и LibreOffice Calc, в силу специфики реализации функции `TINV`, это можно выразить в виде формул и . ИнвТ {\displaystyle \operatorname {InvT} } 2 *SQRT(3)* TINV(1/2, 3)/(TINV(1/2, 3)^2+3)TANH(2*ATANH(1/SQRT(3) * TINV(1/2,3)))

Примечания

  1. ^ Если калькулятор настроен на измерение углов в градусах , последовательность чисел будет сходиться к , [4] корню из . 0,999847... {\displaystyle 0.999847...} потому что ⁡ ( π 180 х ) = х {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{180}}x\right)=x}
  2. ^ Каплан не дает явной формулы для членов ряда, что тривиально следует из теоремы Лагранжа об обращении .

Ссылки

  1. ^ Эрик В. Вайсштейн . «Число Дотти».
  2. ^ ab Weisstein, Eric W. "Dottie Number". mathworld.wolfram.com . Получено 29.01.2025 .
  3. ^ ab Kaplan, Samuel R (февраль 2007 г.). "The Dottie Number" (PDF) . Mathematics Magazine . 80 : 73. doi :10.1080/0025570X.2007.11953455. S2CID  125871044 . Получено 29 ноября 2017 г. .
  4. ^ Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A330119". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
  5. ^ ab Pain, Jean-Christophe (2023). «Точное разложение ряда для числа Дотти». arXiv : 2303.17962 [math.NT].
  6. ^ Мичос, Александр (2023-03-03), Краткое исследование интегрального представления числа Дотти, doi :10.31219/osf.io/3rzj5 , получено 2024-09-24
  7. ^ "Интегральное представление числа Дотти". Mathematics Stack Exchange .
  8. ^ "OEIS A302977 Числители рационального множителя ряда Каплана для числа Дотти". oeis.org . Получено 26.05.2019 .
  9. ^ "A306254 - OEIS". oeis.org . Получено 2019-07-22 .
  • Miller, TH (февраль 1890). «О численных значениях корней уравнения cosx = x». Труды Эдинбургского математического общества . 9 : 80– 83. doi : 10.1017/S0013091500030868 .
  • Салов, Валерий (2012). «Неизбежное число Дотти. Итералы косинуса и синуса». arXiv : 1212.1027 .
  • Азарян, Мохаммад К. (2008). "О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ ФУНКЦИИ И НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ ЕЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ" (PDF) . Международный журнал чистой и прикладной математики .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dottie_number&oldid=1272694596"