Список сверток распределений вероятностей

В теории вероятностей распределение вероятностей суммы двух или более независимых случайных величин является сверткой их индивидуальных распределений. Термин мотивирован тем фактом, что функция массы вероятности или функция плотности вероятности суммы независимых случайных величин является сверткой их соответствующих функций массы вероятности или функций плотности вероятности соответственно. Многие известные распределения имеют простые свертки. Ниже приведен список этих сверток. Каждое утверждение имеет вид

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim Y}$

где — независимые случайные величины, а — распределение, которое получается в результате свертки . Вместо и указаны названия соответствующих распределений и их параметры.${\displaystyle X_{1},X_{2},\точки ,X_{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\точки ,X_{n}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y}$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Бернулли} (p)\sim \mathrm {Биномиальное} (n,p)\qquad 0<p<1\quad n=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Биномиальное} (n_{i},p)\sim \mathrm {Биномиальное} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0<p<1\quad n_{i}=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {ОтрицательныйБиномиал} (n_{i},p)\sim \mathrm {ОтрицательныйБиномиал} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0<p<1\quad n_{i}=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Геометрическая} (p)\sim \mathrm {ОтрицательноеБиномиальное} (n,p)\qquad 0<p<1\quad n=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Пуассона} (\lambda _{i})\sim \mathrm {Пуассона} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)\qquad \lambda _{i}>0}$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Стабильный} \left(\alpha ,\beta _{i},c_{i},\mu _{i}\right)=\operatorname {Стабильный} \left(\alpha ,{\frac {\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}c_{i}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{\alpha }}},\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{\alpha }\right)^{1/\alpha },\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)}$

${\displaystyle \qquad 0<\alpha _{i}\leq 2\quad -1\leq \beta _{i}\leq 1\quad c_{i}>0\quad \infty <\mu _{i}<\infty }$

Следующие три утверждения являются частными случаями приведенного выше утверждения:

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Нормальный} (\mu _{i},\sigma _{i}^{2})\sim \operatorname {Нормальный} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \sigma _{i}^{2}>0\quad (\alpha =2,\beta _{i}=0)}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Коши} (a_{i},\gamma _{i})\sim \operatorname {Коши} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i},\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}\right)\qquad -\infty <a_{i}<\infty \quad \gamma _{i}>0\quad (\alpha =1,\beta _{i}=0)}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Леви} (\mu _{i},c_{i})\sim \operatorname {Леви} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\left(\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {c_{i}}}\right)^{2}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad c_{i}>0\quad (\alpha =1/2,\beta _{i}=1)}$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Gamma} (\alpha _{i},\beta )\sim \operatorname {Gamma} \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\beta \right)\qquad \alpha _{i}>0\quad \beta >0}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Voigt} (\mu _{i},\gamma _{i},\sigma _{i})\sim \operatorname {Voigt} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i},{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \gamma _{i}>0\quad \sigma _{i}>0}$^[1]
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {VarianceGamma} (\mu _{i},\alpha ,\beta ,\lambda _{i})\sim \operatorname {VarianceGamma} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\alpha ,\beta ,\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \lambda _{i}>0\quad {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0}$^[2]
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exponential} (\theta )\sim \operatorname {Erlang} (n,\theta )\qquad \theta >0\quad n=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exponential} (\lambda _{i})\sim \operatorname {Hypoexponential} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})\qquad \lambda _{i}>0}$^[3]
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\chi ^{2}(r_{i})\sim \chi ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}\right)\qquad r_{i}=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}N^{2}(0,1)\sim \chi _{r}^{2}\qquad r=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2},\quad }$ где случайная выборка из и${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}$

Смешанные распределения:

• ${\displaystyle \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})+\operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )\sim \operatorname {Voigt} (\mu +x_{0},\sigma ,\gamma )\qquad -\infty <\mu <\infty \quad -\infty <x_{0}<\infty \quad \gamma >0\quad \sigma >0}$

• Алгебра случайных величин
• Взаимосвязи между распределениями вероятностей
• Бесконечная делимость (вероятность)
• Распределение Бернулли
• Биномиальное распределение
• Распределение Коши
• распределение Эрланга
• Экспоненциальное распределение
• Гамма-распределение
• Геометрическое распределение
• Гипоэкспоненциальное распределение
• Распределение Леви
• Распределение Пуассона
• Стабильное распределение
• Распределение смеси
• Сумма нормально распределенных случайных величин

• Хогг, Роберт В .; МакКин, Джозеф В.; Крейг, Аллен Т. (2004). Введение в математическую статистику (6-е изд.). Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. стр. 692. ISBN 978-0-13-008507-8. МР  0467974.