Линейная функция отклика

Функция линейного отклика описывает отношение вход-выход преобразователя сигнала , например, радио, превращающего электромагнитные волны в музыку, или нейрон, превращающий синаптический вход в ответ. Из-за его многочисленных применений в теории информации , физике и технике существуют альтернативные названия для определенных функций линейного отклика, таких как восприимчивость , импульсная реакция или импеданс ; см. также передаточная функция . Понятие функции Грина или фундаментального решения обыкновенного дифференциального уравнения тесно связано.

Математическое определение

Обозначим вход системы как (например, сила ), а реакцию системы как (например, положение). Как правило, значение будет зависеть не только от текущего значения , но и от прошлых значений. Приблизительно представляет собой взвешенную сумму предыдущих значений , с весами, заданными линейной функцией отклика : час ( т ) {\displaystyle h(t)} х ( т ) {\displaystyle x(t)} х ( т ) {\displaystyle x(t)} час ( т ) {\displaystyle h(t)} х ( т ) {\displaystyle x(t)} час ( т ′ ) {\displaystyle h(t')} χ ( т − т ′ ) {\displaystyle \chi (tt')} х ( т ) = ∫ − ∞ т г т ′ χ ( т − т ′ ) час ( т ′ ) + ⋯ . {\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (tt')h(t')+\cdots \,.}

Явный член в правой части — это член ведущего порядка разложения Вольтерры для полного нелинейного отклика. Если рассматриваемая система сильно нелинейна, то члены более высокого порядка в разложении, обозначенные точками, становятся важными, и преобразователь сигнала не может быть адекватно описан только его линейной функцией отклика.

Комплексное преобразование Фурье линейной функции отклика очень полезно, поскольку оно описывает выход системы, если вход представляет собой синусоидальную волну с частотой . Выходной сигнал читается как χ ~ ( ω ) {\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega)} час ( т ) = час 0 грех ⁡ ( ω т ) {\displaystyle h(t)=h_{0}\sin(\omega t)} ω {\displaystyle \омега}

х ( т ) = | χ ~ ( ω ) | час 0 грех ⁡ ( ω т + арг ⁡ χ ~ ( ω ) ) , {\displaystyle x(t)=\left|{\tilde {\chi }}(\omega )\right|h_{0}\sin(\omega t+\arg {\tilde {\chi }}(\omega ))\,,}

с усилением амплитуды и сдвигом фазы . | χ ~ ( ω ) | {\displaystyle |{\tilde {\chi }}(\omega)|} арг ⁡ χ ~ ( ω ) {\displaystyle \arg {\tilde {\chi }}(\omega)}

Пример

Рассмотрим затухающий гармонический осциллятор с входным сигналом, задаваемым внешней движущей силой , час ( т ) {\displaystyle h(t)}

х ¨ ( т ) + γ х ˙ ( т ) + ω 0 2 х ( т ) = час ( т ) . {\displaystyle {\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).}

Комплексное преобразование Фурье линейной функции отклика определяется выражением

χ ~ ( ω ) = х ~ ( ω ) час ~ ( ω ) = 1 ω 0 2 − ω 2 + я γ ω . {\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega)={\frac {{\tilde {x}}(\omega)}{{\tilde {h}}(\omega)}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.}

Прирост амплитуды определяется величиной комплексного числа , а сдвиг фазы — арктангенсом мнимой части функции, деленным на действительную часть. χ ~ ( ω ) , {\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega),}

Из этого представления мы видим, что для малых преобразование Фурье линейной функции отклика дает выраженный максимум (« Резонанс ») на частоте . Линейная функция отклика для гармонического осциллятора математически идентична функции RLC-цепи . Ширина максимума, как правило, намного меньше , поэтому добротность может быть чрезвычайно большой. γ {\displaystyle \гамма} χ ~ ( ω ) {\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega)} ω ≈ ω 0 {\displaystyle \omega \approx \omega _{0}} Δ ω , {\displaystyle \Дельта \омега,} ω 0 , {\displaystyle \omega _{0},} В := ω 0 / Δ ω {\displaystyle Q:=\omega _{0}/\Delta \omega }

Формула Кубо

Изложение теории линейного отклика в контексте квантовой статистики можно найти в статье Рёго Кубо . [1] Это определяет, в частности, формулу Кубо , которая рассматривает общий случай, когда «сила» h ( t ) является возмущением основного оператора системы, гамильтониана , где соответствует измеримой величине в качестве входных данных, в то время как выход x ( t ) является возмущением теплового ожидания другой измеримой величины . Формула Кубо затем определяет квантово-статистический расчет восприимчивости с помощью общей формулы, включающей только упомянутые операторы. ЧАС ^ 0 → ЧАС ^ 0 − час ( т ′ ) Б ^ ( т ′ ) {\displaystyle {\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')} Б ^ {\displaystyle {\шляпа {B}}} А ^ ( т ) {\displaystyle {\hat {A}}(т)} χ ( т − т ′ ) {\displaystyle \chi (tt')}

Вследствие принципа причинности комплекснозначная функция имеет полюса только в нижней полуплоскости. Это приводит к соотношениям Крамерса–Кронига , которые связывают действительную и мнимую части путем интегрирования. Простейшим примером снова является затухающий гармонический осциллятор . [2] χ ~ ( ω ) {\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega)} χ ~ ( ω ) {\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega)}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Кубо, Р., Статистическая механическая теория необратимых процессов I , Журнал Физического общества Японии, т. 12 , стр. 570–586 (1957).
  2. ^ Де Клозо, Теория линейного отклика , в: Э. Антончик и др., Теория конденсированного состояния , МАГАТЭ, Вена, 1968
  • Функции линейного отклика в Еве Паварини, Эрике Кохе, Дитере Фоллхардте и Александре Лихтенштейне (ред.): DMFT в 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN  978-3-89336-953-9
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Линейная_функция_ответа&oldid=1218310932"