Линейная фаза

В обработке сигналов линейная фаза — это свойство фильтра , где фазовый отклик фильтра является линейной функцией частоты . Результатом является то, что все частотные компоненты входного сигнала смещены во времени (обычно задержаны) на одну и ту же постоянную величину (наклон линейной функции ), которая называется групповой задержкой . Следовательно, нет никаких фазовых искажений из-за временной задержки частот относительно друг друга.

Для дискретных по времени сигналов идеальная линейная фаза легко достигается с помощью фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ), имея коэффициенты, которые являются симметричными или антисимметричными. ^[1] Аппроксимации могут быть достигнуты с помощью конструкций с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), которые более эффективны с точки зрения вычислений. Несколько методов:

• передаточная функция Бесселя , которая имеет максимально плоскую функцию аппроксимации групповой задержки
• фазовый эквалайзер

Фильтр называется линейным фазовым фильтром, если фазовая составляющая частотной характеристики является линейной функцией частоты. Для непрерывного приложения частотная характеристика фильтра является преобразованием Фурье импульсной характеристики фильтра , а линейная фазовая версия имеет вид:

${\displaystyle H(\omega)=A(\omega)\ e^{-j\omega \tau },}$

где:

• A(ω) — действительная функция.
• ${\displaystyle \тау}$групповая задержка.

Для дискретного по времени приложения дискретное по времени преобразование Фурье линейной фазовой импульсной характеристики имеет вид:

${\displaystyle H_{2\pi}(\omega)=A(\omega)\ e^{-j\omega k/2},}$

где:

• A(ω) — действительная функция с периодичностью 2π.
• k — целое число, а k/2 — групповая задержка в единицах выборок.

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega)}$представляет собой ряд Фурье , который также может быть выражен через Z-преобразование импульсной характеристики фильтра. То есть:

${\displaystyle H_{2\pi}(\omega)=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega}}={\widehat {H}}(e^{j\omega}),}$

где обозначение отличает Z-преобразование от преобразования Фурье.${\displaystyle {\widehat {H}}}$

При прохождении синусоиды   через фильтр с постоянной (частотно-независимой) групповой задержкой   результат будет следующим :${\displaystyle ,\ \sin(\omega t+\theta ),}$${\displaystyle \тау ,}$

${\displaystyle A(\omega )\cdot \sin(\omega (t-\tau )+\theta )=A(\omega )\cdot \sin(\omega t+\theta -\omega \tau ),}$

где :

• ${\displaystyle А(\омега)}$представляет собой частотно-зависимый умножитель амплитуды.
• Фазовый сдвиг является линейной функцией угловой частоты и представляет собой наклон.${\displaystyle \омега \тау }$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle -\тау }$

Отсюда следует, что сложная показательная функция:

${\displaystyle e^{i(\omega t+\theta )}=\cos(\omega t+\theta )+i\cdot \sin(\omega t+\theta ),}$

трансформируется в:

${\displaystyle A(\omega)\cdot e^{i(\omega (t-\tau)+\theta)} =e^{i(\omega t+\theta)}\cdot A(\omega)e^{-i\omega \tau }}$^{[примечание 1]}

Для приблизительно линейной фазы достаточно иметь это свойство только в полосе пропускания (полосах) фильтра, где |A(ω)| имеет относительно большие значения. Поэтому для проверки линейности фильтра обычно используются как графики амплитуды, так и фазовые графики ( диаграммы Боде ). «Линейный» фазовый график может содержать разрывы π и/или 2π радиан. Меньшие случаются там, где A(ω) меняет знак. Поскольку |A(ω)| не может быть отрицательным, изменения отражаются на фазовом графике. Разрывы 2π случаются из-за построения главного значения вместо   фактического значения.${\displaystyle \омега \тау ,}$

В дискретных временных приложениях рассматривается только область частот между 0 и частотой Найквиста из-за периодичности и симметрии. В зависимости от единиц частоты частота Найквиста может составлять 0,5, 1,0, π или ½ фактической частоты дискретизации. Ниже приведены некоторые примеры линейной и нелинейной фазы.

Дискретный фильтр с линейной фазой может быть получен с помощью КИХ-фильтра, который является либо симметричным, либо антисимметричным. ^[2]   Необходимым, но не достаточным условием является :

${\displaystyle \sum _ {n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \sin(\omega \cdot (n-\alpha)+\beta)=0}$

для некоторых . ^[3]${\displaystyle \альфа ,\бета \in \mathbb {R} }$

Системы с обобщенной линейной фазой имеют дополнительную частотно-независимую константу, добавленную к фазе. В случае дискретного времени, например, частотная характеристика имеет вид:${\displaystyle \бета}$

${\displaystyle H_{2\pi}(\omega)=A(\omega)\ e^{-j\omega k/2+j\beta},}$

${\displaystyle \arg \left[H_{2\pi }(\omega )\right]=\beta -\omega k/2}$для${\displaystyle -\pi <\omega <\pi }$

Из-за этой константы фаза системы не является строго линейной функцией частоты, но она сохраняет многие полезные свойства линейных фазовых систем. ^[4]

• Минимальная фаза