Минимальная фаза

В теории управления и обработки сигналов линейная , не зависящая от времени система называется минимально-фазовой, если система и ее обратная система являются причинно-следственными и устойчивыми . ^{[1] [2]}

Наиболее общая причинная функция передачи LTI может быть однозначно разложена на ряд всепроходной и минимально-фазовой систем. Тогда системная функция является произведением двух частей, а во временной области отклик системы является сверткой двухчастевых откликов. Разница между минимально-фазовой и общей передаточной функцией заключается в том, что минимально-фазовая система имеет все полюса и нули своей передаточной функции в левой половине представления s -плоскости (в дискретном времени, соответственно, внутри единичной окружности плоскости z  ). Поскольку инвертирование системной функции приводит к тому, что полюса превращаются в нули и наоборот, а полюса на правой стороне ( мнимая линия s -плоскости ) или снаружи ( единичная окружность z -плоскости ) комплексной плоскости приводят к неустойчивым системам , только класс минимально-фазовых систем замкнут относительно инверсии. Интуитивно понятно, что минимально-фазовая часть общей причинной системы реализует свой амплитудный отклик с минимальной групповой задержкой , в то время как ее всепроходная часть корректирует только свой фазовый отклик, чтобы соответствовать исходной системной функции.

Анализ в терминах полюсов и нулей является точным только в случае передаточных функций, которые могут быть выражены как отношения полиномов. В случае непрерывного времени такие системы переводятся в сети обычных, идеализированных сетей LCR . В дискретном времени они удобно переводятся в их аппроксимации, используя сложение, умножение и единичную задержку. Можно показать, что в обоих случаях системные функции рациональной формы с возрастающим порядком могут использоваться для эффективной аппроксимации любой другой системной функции; таким образом, даже системные функции, не имеющие рациональной формы и, таким образом, обладающие бесконечностью полюсов и/или нулей, могут на практике быть реализованы так же эффективно, как и любые другие.

В контексте причинных, устойчивых систем мы теоретически были бы свободны выбирать, находятся ли нули системной функции вне устойчивого диапазона (справа или снаружи), если бы условие замыкания не было проблемой. Однако инверсия имеет большое практическое значение, так же как теоретически совершенные факторизации имеют свое собственное право. (Ср. спектральное симметричное/антисимметричное разложение как еще один важный пример, приводящий, например, к методам преобразования Гильберта .) Многие физические системы также естественным образом стремятся к минимально-фазовому отклику, и иногда их приходится инвертировать с использованием других физических систем, подчиняющихся тому же ограничению.

Ниже дается объяснение того, почему эта система называется минимально-фазовой и почему основная идея применима даже тогда, когда функцию системы невозможно привести к рациональной форме, которую можно было бы реализовать.

Система обратима, если мы можем однозначно определить ее вход из ее выхода. То есть, мы можем найти систему, такую, что если мы применим , а затем , мы получим тождественную систему . (См. Обратная матрица для конечномерного аналога). То есть,${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$${\displaystyle \mathbb {Я} }$$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} =\mathbb {I} .}$$

Предположим, что это входные данные для системы , которые дают выходные данные :${\displaystyle {\тильда {x}}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle {\тильда {y}}}$$${\displaystyle \mathbb {H} {\tilde {x}} = {\tilde {y}}.}$$

Применение обратной системы дает${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$${\displaystyle {\тильда {y}}}$$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {I} {\tilde {x}}={\tilde {x}}.}$$

Итак, мы видим, что обратная система позволяет нам однозначно определить вход из выхода .${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$${\displaystyle {\тильда {x}}}$${\displaystyle {\тильда {y}}}$

Предположим, что система является дискретной по времени, линейной, инвариантной по времени (LTI) системой, описываемой импульсной характеристикой для n в Z . Кроме того, предположим, что имеет импульсную характеристику . Каскад из двух систем LTI является сверткой . В этом случае приведенное выше соотношение имеет следующий вид: где — символ Кронекера , или система тождества в случае дискретного времени. (Изменение порядка и допускается из-за коммутативности операции свертки.) Обратите внимание, что эта обратная система не обязательно должна быть уникальной.${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle h(n)}$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$${\displaystyle h_{\text{inv}}(n)}$$${\displaystyle (h_{\text{inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)h_{\text{inv}}(nk)=\delta (n),}$$${\displaystyle \дельта (н)}$${\displaystyle h_{\text{inv}}}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$

В этом разделе не указаны источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . ( Октябрь 2023 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Когда мы накладываем ограничения причинности и устойчивости , обратная система является уникальной; и система и ее обратная система называются минимально-фазовыми . Ограничения причинности и устойчивости в случае дискретного времени следующие (для систем, не зависящих от времени, где h — импульсная реакция системы, а — норма ℓ ¹ ):${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$${\displaystyle \|{\cdot }\|_{1}}$

$${\displaystyle h(n)=0\ \forall n<0}$$и$${\displaystyle h_{\text{inv}}(n)=0\ \forall n<0.}$$

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h(n)|=\|h\|_{1}<\infty }$$и$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h_{\text{inv}}(n)|=\|h_{\text{inv}}\|_{1}<\infty .}$$

Аналогичные условия для случая непрерывного времени см. в статье об устойчивости .

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (October 2023) (Learn how and when to remove this message)

Выполнение частотного анализа для случая дискретного времени даст некоторое представление. Уравнение временной области имеет вид$${\displaystyle (h*h_{\text{inv}})(n)=\delta (n).}$$

Применение Z-преобразования дает следующее соотношение в области z  :$${\displaystyle H(z)H_{\text{inv}}(z)=1.}$$

Из этого соотношения мы понимаем, что$${\displaystyle H_{\text{inv}}(z)={\frac {1}{H(z)}}.}$$

Для простоты рассмотрим только случай рациональной передаточной функции H ( z ) . Причинность и устойчивость подразумевают, что все полюса H ( z ) должны находиться строго внутри единичной окружности (см. устойчивость ). Предположим, что где A ( z ) и D ( z ) являются полиномами по z . Причинность и устойчивость подразумевают, что полюса – корни D ( z ) – должны находиться строго внутри единичной окружности . Мы также знаем , что поэтому причинность  и устойчивость для подразумевают , что  ее полюса – корни A (  z ) – должны находиться  внутри единичной окружности . Эти два ограничения подразумевают, что как нули, так и полюса минимально-фазовой системы должны находиться строго внутри единичной окружности.$${\displaystyle H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}},}$$$${\displaystyle H_{\text{inv}}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}},}$$${\displaystyle H_{\text{inv}}(z)}$

Анализ для случая непрерывного времени выполняется аналогичным образом, за исключением того, что мы используем преобразование Лапласа для частотного анализа. Уравнение временной области имеет вид где — дельта-функция Дирака  — оператор тождества в случае непрерывного времени из-за свойства просеивания с любым сигналом x ( t ) :$${\displaystyle (h*h_{\text{inv}})(t)=\delta (t),}$$${\displaystyle \delta (t)}$$${\displaystyle (\delta *x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )\,d\tau =x(t).}$$

Применение преобразования Лапласа дает следующее соотношение в s-плоскости : из которого мы понимаем, что$${\displaystyle H(s)H_{\text{inv}}(s)=1,}$$$${\displaystyle H_{\text{inv}}(s)={\frac {1}{H(s)}}.}$$

Опять же, для простоты мы рассматриваем только случай рациональной передаточной функции H ( s ) . Причинность и устойчивость подразумевают, что все полюса H ( s ) должны находиться строго внутри левой половины s-плоскости (см. устойчивость ). Предположим, что где A ( s ) и D ( s ) являются полиномами по s . Причинность и устойчивость подразумевают, что полюса  – корни D ( s ) –  должны находиться внутри левой половины s-плоскости . Мы также знаем, что причинность и устойчивость для подразумевают, что ее полюса  – корни A ( s )  – должны находиться строго внутри левой половины s-плоскости . Эти два ограничения подразумевают, что как нули , так и полюса минимально-фазовой системы должны находиться строго внутри левой половины s-плоскости .$${\displaystyle H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}},}$$$${\displaystyle H_{\text{inv}}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}},}$$${\displaystyle H_{\text{inv}}(s)}$

Минимально-фазовая система, будь то дискретная или непрерывная, имеет дополнительное полезное свойство, заключающееся в том, что натуральный логарифм величины частотной характеристики («усиление», измеряемое в неперах , которое пропорционально дБ ) связан с фазовым углом частотной характеристики (измеряемым в радианах ) преобразованием Гильберта . То есть, в случае непрерывного времени пусть будет комплексной частотной характеристикой системы H ( s ) . Тогда только для минимально-фазовой системы фазовая характеристика H ( s ) связана с усилением соотношением, где обозначает преобразование Гильберта, и, наоборот,$${\displaystyle H(j\omega )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }}$$$${\displaystyle \arg[H(j\omega )]=-{\mathcal {H}}{\big \{}\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}{\big \}},}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle \log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}=\log {\big (}|H(j\infty )|{\big )}+{\mathcal {H}}{\big \{}\arg[H(j\omega )]{\big \}}.}$$

Более компактно, пусть где и — действительные функции действительной переменной. Тогда и$${\displaystyle H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg[H(j\omega )]}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )},}$$${\displaystyle \alpha (\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )}$$${\displaystyle \phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\{\alpha (\omega )\}}$$$${\displaystyle \alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\{\phi (\omega )\}.}$$

Оператор преобразования Гильберта определяется как$${\displaystyle {\mathcal {H}}\{x(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .}$$

Эквивалентное соответствующее соотношение справедливо и для минимально-фазовых систем с дискретным временем.

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (October 2023) (Learn how and when to remove this message)

Для всех причинных и устойчивых систем, имеющих одинаковую амплитудную характеристику , энергия минимально-фазовой системы сосредоточена вблизи начала импульсной характеристики . То есть она минимизирует следующую функцию, которую можно рассматривать как задержку энергии в импульсной характеристике :$${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }|h(n)|^{2}\quad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+}.}$$

Для всех причинных и стабильных систем, имеющих одинаковую амплитудную реакцию , минимально-фазовая система имеет минимальную групповую задержку . Следующее доказательство иллюстрирует эту идею минимальной групповой задержки .

Предположим, что мы рассматриваем один ноль передаточной функции . Давайте поместим этот ноль внутрь единичной окружности ( ) и посмотрим, как это повлияет на групповую задержку .${\displaystyle a}$ ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle \left|a\right|<1}$$${\displaystyle a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\text{ where }}\,\theta _{a}=\operatorname {Arg} (a)}$$

Поскольку ноль вносит вклад в передаточную функцию , фаза, вносимая этим членом, следующая.${\displaystyle a}$${\displaystyle 1-az^{-1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{a}\left(\omega \right)&=\operatorname {Arg} \left(1-ae^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{1-\left|a\right|\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \phi _{a}(\omega )}$вносит следующий вклад в групповую задержку .

$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}&={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}\\&={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}\end{aligned}}}$$

Знаменатель и инвариантны к отражению нуля вне единичной окружности , т.е. замене на . Однако, отражая вне единичной окружности, мы увеличиваем величину в числителе. Таким образом, наличие внутри единичной окружности минимизирует групповую задержку, вносимую фактором . Мы можем распространить этот результат на общий случай более чем одного нуля , поскольку фаза мультипликативных множителей формы аддитивна. Т.е. для передаточной функции с нулями ,${\displaystyle \theta _{a}}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (a^{-1})^{*}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \left|a\right|}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 1-az^{-1}}$${\displaystyle 1-a_{i}z^{-1}}$${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Arg} \left(1-a_{i}z^{-1}\right)}$$

Таким образом, минимально-фазовая система со всеми нулями внутри единичной окружности минимизирует групповую задержку, поскольку групповая задержка каждого отдельного нуля минимальна.

Системы, которые являются причинными и стабильными, инверсии которых являются причинными и нестабильными, известны как системы с неминимальной фазой . Данная система с неминимальной фазой будет иметь больший фазовый вклад, чем система с минимальной фазой с эквивалентным откликом по величине.

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (September 2014) (Learn how and when to remove this message)

Максимально -фазовая система является противоположностью минимально-фазовой системы. Каузальная и стабильная система LTI является максимально-фазовой системой, если ее инверсия является причинной и нестабильной. ^{[ сомнительно – обсудить ]} То есть,

• Нули дискретной системы времени находятся вне единичной окружности .
• Нули системы с непрерывным временем находятся в правой части комплексной плоскости .

Такая система называется системой с максимальной фазой , поскольку она имеет максимальную групповую задержку из набора систем, имеющих одинаковый отклик по величине. В этом наборе систем с одинаковой амплитудой отклика система с максимальной фазой будет иметь максимальную энергетическую задержку.

Например, две системы LTI непрерывного действия, описываемые передаточными функциями$${\displaystyle {\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}}$$

имеют эквивалентные амплитудные отклики; однако вторая система имеет гораздо больший вклад в сдвиг фазы. Следовательно, в этом наборе вторая система является системой с максимальной фазой, а первая система является системой с минимальной фазой. Эти системы также известны как системы с неминимальной фазой, которые вызывают много проблем со стабильностью в управлении. Одним из последних решений для этих систем является перемещение нулей RHP в LHP с использованием метода PFCD. ^[3]

Система со смешанной фазой имеет некоторые из своих нулей внутри единичной окружности , а другие — вне единичной окружности . Таким образом, ее групповая задержка не является ни минимальной, ни максимальной, а находится где-то между групповой задержкой минимальной и максимальной фазовой эквивалентной системы.

Например, система LTI непрерывного времени, описываемая передаточной функцией, является стабильной и причинной; однако она имеет нули как на левой, так и на правой стороне комплексной плоскости . Следовательно, это смешанно-фазовая система. Для управления передаточными функциями, которые включают эти системы, предлагаются некоторые методы, такие как внутренний контроллер модели (IMC), ^[4] обобщенный предиктор Смита (GSP) ^[5] и параллельное управление прямой связью с производной (PFCD) ^{[6] .}$${\displaystyle {\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}}$$

Линейно -фазовая система имеет постоянную групповую задержку . Нетривиальные линейные фазовые или почти линейные фазовые системы также являются смешанно-фазовыми.

• Фильтр с широкими полосами пропускания  – особый случай, не являющийся минимально-фазовым.
• Соотношение Крамерса–Кронига  – Минимально-фазовая система в физике