Квантование светового фронта [ 1] [2] [3] квантовых теорий поля обеспечивает полезную альтернативу обычному равновременному квантованию . В частности, оно может привести к релятивистскому описанию связанных систем в терминах квантово-механических волновых функций . Квантование основано на выборе координат светового фронта, [4] где играет роль времени, а соответствующая пространственная координата — . Здесь — обычное время, — одна декартова координата , а — скорость света. Две другие декартовы координаты, и , остаются нетронутыми и часто называются поперечными или перпендикулярными, обозначаемыми символами типа . Выбор системы отсчета, в которой определены время и ось, может быть оставлен неопределенным в точно решаемой релятивистской теории, но в практических расчетах некоторые варианты могут оказаться более подходящими, чем другие.
На практике практически все измерения производятся при фиксированном времени светового фронта. Например, когда электрон рассеивается на протоне , как в знаменитых экспериментах SLAC , которые открыли кварковую структуру адронов , взаимодействие с составляющими происходит при одном времени светового фронта. Когда делается фотография со вспышкой, записанное изображение показывает объект, когда фронт световой волны от вспышки пересекает объект. Таким образом, Дирак использовал терминологию «световой фронт» и «форма фронта» в отличие от обычного мгновенного времени и «мгновенной формы». [4] Световые волны, распространяющиеся в отрицательном направлении, продолжают распространяться в течение одного времени светового фронта .
Как подчеркивал Дирак, лоренцевские бусты состояний при фиксированном времени светового фронта являются простыми кинематическими преобразованиями. Описание физических систем в координатах светового фронта не изменяется при бустах светового фронта в системах, движущихся относительно изначально заданной. Это также означает, что существует разделение внешних и внутренних координат (как в нерелятивистских системах), и внутренние волновые функции не зависят от внешних координат, если нет внешней силы или поля. Напротив, вычисление эффектов бустов состояний, определенных при фиксированном моменте времени, является сложной динамической проблемой .
Описание связанного состояния в квантовой теории поля, например, атома в квантовой электродинамике (КЭД) или адрона в квантовой хромодинамике (КХД), обычно требует множественных волновых функций, поскольку квантовые теории поля включают процессы, которые создают и уничтожают частицы. Тогда состояние системы не имеет определенного числа частиц, а вместо этого является квантово-механической линейной комбинацией состояний Фока , каждое с определенным числом частиц. Любое единичное измерение числа частиц вернет значение с вероятностью, определяемой амплитудой состояния Фока с этим числом частиц. Эти амплитуды являются волновыми функциями светового фронта. Волновые функции светового фронта не зависят от кадра и не зависят от полного импульса .
Волновые функции являются решением теоретико-полевого аналога уравнения Шредингера нерелятивистской квантовой механики. В нерелятивистской теории оператор Гамильтона — это просто кинетическая часть и потенциальная часть . Волновая функция является функцией координаты , и является энергией . В квантовании светового фронта формулировка обычно записывается в терминах импульсов светового фронта , с индексом частицы , , и массой частицы , и энергиями светового фронта . Они удовлетворяют условию массовой оболочки
Аналогом нерелятивистского гамильтониана является оператор светового фронта , который генерирует трансляции во времени светового фронта. Он строится из лагранжиана для выбранной квантовой теории поля. Полный световой фронт импульса системы, , является суммой одночастичных световых фронт импульсов. Полная световая фронт энергия фиксируется условием массовой оболочки как , где - инвариантная масса системы. Уравнение Шредингера квантования светового фронта тогда равно . Это обеспечивает основу для непертурбативного анализа квантовых теорий поля, который совершенно отличен от решеточного подхода. [5] [6] [7]
Квантование на световом фронте обеспечивает строгую полевую теоретико-полевую реализацию интуитивных идей партонной модели , которая сформулирована при фиксированном в системе отсчета с бесконечным импульсом. [8] [9] (см. #Система отсчета с бесконечным импульсом). Те же результаты получаются в форме фронта для любой системы отсчета; например, структурные функции и другие вероятностные распределения партонов, измеренные в глубоконеупругом рассеянии , получаются из квадратов инвариантных относительно буста волновых функций светового фронта, [10] собственного решения гамильтониана светового фронта. Кинематическая переменная Бьёркена глубоконеупругого рассеяния отождествляется с фракцией светового фронта при малых . Поведение структурных функций Редже Балицкого–Фадина–Кураева–Липатова (БФКЛ) [11] может быть продемонстрировано из поведения волновых функций светового фронта при малых . Эволюция Докшицера–Грибова–Липатова–Алтарелли–Паризи ( DGLAP ) [12] структурных функций и эволюция Ефремова–Радюшкина–Бродского–Лепажа (ERBL) [13] [14] амплитуд распределения в являются свойствами волновых функций светового фронта при большом поперечном импульсе.
Вычисление адронных матричных элементов токов особенно просто на световом фронте, поскольку их можно получить строго как перекрытия волновых функций светового фронта, как в формуле Дрелла–Яна–Веста. [15] [16] [17]
Калибровочно -инвариантные амплитуды распределения мезонов и барионов , которые управляют жесткими эксклюзивными и прямыми реакциями, являются волновыми функциями валентного светового фронта, интегрированными по поперечному импульсу при фиксированном . Эволюция "ERBL" [13] [14] амплитуд распределения и теоремы факторизации для жестких эксклюзивных процессов могут быть выведены наиболее просто с помощью методов светового фронта. Учитывая независимые от кадра волновые функции светового фронта, можно вычислить большой диапазон наблюдаемых адронов, включая обобщенные распределения партонов, распределения Вигнера и т. д. Например, вклад "сумочки" в обобщенные распределения партонов для глубоко виртуального комптоновского рассеяния , который может быть вычислен из перекрытия волновых функций светового фронта, автоматически удовлетворяет известным правилам сумм .
Волновые функции светового фронта содержат информацию о новых особенностях КХД. Они включают эффекты, предложенные другими подходами, такими как прозрачность цвета , скрытый цвет, внутреннее очарование , симметрии морских кварков , дифракция двух струй, прямые жесткие процессы и динамика адронного спина .
Можно также доказать фундаментальные теоремы для релятивистских квантовых теорий поля, используя фронтовую форму, включая: (a) теорему о кластерном разложении [18] и (b) исчезновение аномального гравитомагнитного момента для любого фоковского состояния адрона; [19] также можно показать, что ненулевой аномальный магнитный момент связанного состояния требует ненулевого углового момента составляющих. Кластерные свойства [20] теории возмущений с упорядоченным временем на световом фронте вместе с сохранением могут быть использованы для элегантного вывода правил Парка–Тейлора для амплитуд рассеяния мультиглюонов. [ 21] Поведение структурных функций в целом по правилу подсчета [22] и дуальность Блума–Гилмана [23] [24] также были выведены в квантовой хромодинамике на световом фронте (КХД на световом фронте (ЛФКХД)). Существование «эффектов линзирования» при ведущем повороте, таких как -нечетный «эффект Сиверса» в спин-зависимом полуинклюзивном глубоконеупругом рассеянии, было впервые продемонстрировано с использованием методов светового фронта. [25]
Квантование светового фронта, таким образом, является естественной основой для описания непертурбативной релятивистской структуры связанного состояния адронов в квантовой хромодинамике. Формализм является строгим, релятивистским и независим от системы отсчета. Однако в LFQCD существуют тонкие проблемы, которые требуют тщательного исследования. Например, сложности вакуума в обычной мгновенной формулировке, такие как механизм Хиггса и конденсаты в теории, имеют свои аналоги в нулевых модах или, возможно, в дополнительных членах в гамильтониане LFQCD, которые разрешены подсчетом мощности. [26] Рассмотрение вакуума с точки зрения светового фронта, а также проблема достижения полной ковариантности в LFQCD требуют пристального внимания к сингулярностям светового фронта и вкладам нулевых мод. [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35 ] [36] [37] Усечение пространства Фока на световом фронте требует введения эффективных кварковых и глюонных степеней свободы для преодоления эффектов усечения. Введение таких эффективных степеней свободы — это то, что требуется при поиске динамической связи между каноническими (или текущими) кварками и эффективными (или составными) кварками, которую искал Мелош, а Гелл-Манн отстаивал как метод усечения КХД.
Таким образом, формулировка гамильтониана на световом фронте открывает доступ к КХД на уровне амплитуды и готова стать основой для общей трактовки спектроскопии и партонной структуры адронов в едином ковариантном формализме, обеспечивая объединяющую связь между экспериментальными данными низких и высоких энергий, которые до сих пор остаются в значительной степени разрозненными.
Фронтальная релятивистская квантовая механика была введена Полем Дираком в статье 1949 года, опубликованной в Reviews of Modern Physics. [4] Фронтальная квантовая теория поля — это фронтальное представление локальной релятивистской квантовой теории поля.
Релятивистская инвариантность квантовой теории означает, что наблюдаемые величины (вероятности, ожидаемые значения и средние по ансамблю) имеют одинаковые значения во всех инерциальных системах координат. Поскольку различные инерциальные системы координат связаны неоднородными преобразованиями Лоренца ( преобразованиями Пуанкаре ), это требует, чтобы группа Пуанкаре была группой симметрии теории. Вигнер [38] и Баргманн [39] показали, что эта симметрия должна быть реализована унитарным представлением связной компоненты группы Пуанкаре в гильбертовом пространстве квантовой теории. Симметрия Пуанкаре является динамической симметрией, поскольку преобразования Пуанкаре смешивают как пространственные, так и временные переменные. Динамическую природу этой симметрии легче всего увидеть, заметив, что гамильтониан появляется в правой части трех коммутаторов генераторов Пуанкаре, , где — компоненты линейного импульса, а — компоненты генераторов без вращения. Если гамильтониан включает взаимодействия, то коммутационные соотношения не могут быть удовлетворены, если по крайней мере три генератора Пуанкаре также не включают взаимодействия.
В статье Дирака [4] были представлены три различных способа минимального включения взаимодействий в алгебру Ли Пуанкаре . Он назвал различные минимальные выборы «мгновенной формой», «точечной формой» и «фронтом» динамики. Каждая «форма динамики» характеризуется различной свободной от взаимодействия (кинематической) подгруппой группы Пуанкаре. В динамике мгновенной формы Дирака кинематическая подгруппа — это трехмерная евклидова подгруппа, порожденная пространственными переносами и вращениями, в динамике точечной формы Дирака кинематическая подгруппа — это группа Лоренца, а в «динамике светового фронта» Дирака кинематическая подгруппа — это группа преобразований, которые оставляют трехмерную гиперплоскость, касательную к световому конусу, инвариантной.
Световой фронт — это трехмерная гиперплоскость, определяемая условием:
1 |
с , где обычно принято выбирать . Координаты точек на гиперплоскости светового фронта равны
2 |
Лоренц-инвариантное внутреннее произведение двух 4-векторов , и , может быть выражено через их компоненты светового фронта как
3 |
В релятивистской квантовой теории фронтовой формы тремя взаимодействующими генераторами группы Пуанкаре являются , генератор трансляций, нормальных к световому фронту, и , генераторы вращений, поперечных к световому фронту. называется гамильтонианом «светового фронта».
Кинематические генераторы, которые генерируют преобразования, касательные к световому фронту, свободны от взаимодействия. К ним относятся и , которые генерируют трансляции, касательные к световому фронту, который генерирует вращения вокруг оси, и генераторы , и сохраняющих световой фронт усилений,
4 |
которые образуют замкнутую подалгебру .
Квантовые теории светового фронта обладают следующими отличительными свойствами:
Эти свойства имеют последствия, полезные в приложениях.
Нет потери общности при использовании релятивистских квантовых теорий светового фронта. Для систем с конечным числом степеней свободы существуют явные унитарные преобразования, сохраняющие -матрицу, которые преобразуют теории с кинематическими подгруппами светового фронта в эквивалентные теории с кинематическими подгруппами мгновенной или точечной формы. Ожидается, что это верно в квантовой теории поля, хотя установление эквивалентности требует непертурбативного определения теорий в различных формах динамики.
Канонические коммутационные соотношения в равное время являются центральным элементом канонического метода квантования для квантованных полей. В стандартном методе квантования («Мгновенная форма» в классификации релятивистской динамики Дирака [4] ), соотношения, например, здесь для поля со спином 0 и его канонического сопряжения :
где отношения берутся в равное время , а и являются пространственными переменными. Требование равного времени налагает, что является пространственноподобной величиной. Ненулевое значение коммутатора выражает тот факт, что когда и разделены пространственноподобным расстоянием, они не могут сообщаться друг с другом и, таким образом, коммутировать, за исключением случая, когда их разделение . [40]
Однако в форме Light-Front поля в одинаковое время причинно связаны (т.е. они могут сообщаться), поскольку время Light-Front идет вдоль светового конуса. Следовательно, канонические коммутационные соотношения Light-Front различны. Например: [41]
где — антисимметричная ступенчатая функция Хевисайда .
С другой стороны, коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения одинаковы как для мгновенной, так и для световой фронтальной форм:
где и — волновые векторы полей, а .
В общем случае, если умножить усиление Лоренца справа на зависящее от импульса вращение, которое оставляет вектор покоя неизменным, результатом будет другой тип усиления. В принципе, существует столько же различных видов усилений, сколько и зависящих от импульса вращений. Наиболее распространенными вариантами являются усиления без вращения, усиления спиральности и усиления светового фронта. Усиление светового фронта ( 4 ) — это усиление Лоренца, которое оставляет световой фронт неизменным.
Ускорения светового фронта не только являются членами кинематической подгруппы светового фронта, но и образуют замкнутую трехпараметрическую подгруппу. Это имеет два последствия. Во-первых, поскольку ускорения не включают взаимодействия, унитарные представления ускорений светового фронта взаимодействующей системы частиц являются тензорными произведениями одночастичных представлений ускорений светового фронта. Во-вторых, поскольку эти ускорения образуют подгруппу, произвольные последовательности ускорений светового фронта, которые возвращаются в исходную систему отсчета, не генерируют вращения Вигнера.
Спин частицы в релятивистской квантовой теории — это угловой момент частицы в ее системе покоя . Спиновые наблюдаемые определяются путем увеличения тензора углового момента частицы до системы покоя частицы.
5 |
где — усиление Лоренца, которое преобразуется в .
Компоненты результирующего вектора спина, , всегда удовлетворяют коммутационным соотношениям, но отдельные компоненты будут зависеть от выбора усиления . Компоненты спина на световом фронте получаются путем выбора инверсии усиления, сохраняющего световой фронт, ( 4 ).
Компоненты спина светового фронта являются компонентами спина, измеренными в системе покоя частицы после преобразования частицы в ее систему покоя с помощью усиления, сохраняющего световой фронт ( 4 ). Спин светового фронта инвариантен относительно усилений, сохраняющих световой фронт, поскольку эти усиления не генерируют вращения Вигнера. Компонента этого спина вдоль направления называется спиральностью светового фронта. Помимо того, что она инвариантна, она также является кинематической наблюдаемой, т. е. свободной от взаимодействий. Она называется спиральностью, поскольку ось квантования спина определяется ориентацией светового фронта. Она отличается от спиральности Якоба–Вика, где ось квантования определяется направлением импульса.
Эти свойства упрощают вычисление элементов матрицы тока, поскольку (1) начальные и конечные состояния в разных системах связаны кинематическими преобразованиями Лоренца, (2) одночастичные вклады в матрицу тока, которые важны для жесткого рассеяния, не смешиваются с частями тока, зависящими от взаимодействия при усилениях светового фронта, и (3) спиральности светового фронта остаются инвариантными относительно усилений светового фронта. Таким образом, спиральность светового фронта сохраняется каждым взаимодействием в каждой вершине.
Из-за этих свойств фронтовая квантовая теория является единственной формой релятивистской динамики, которая имеет истинные «независимые от системы отсчета» импульсные приближения в том смысле, что однотельные токовые операторы остаются однотельными операторами во всех системах отсчета, связанных усилением светового фронта, а импульс, переданный системе, идентичен импульсу, переданному составным частицам. Динамические ограничения, которые следуют из вращательной ковариации и токовой ковариации, связывают матричные элементы с различными магнитными квантовыми числами . Это означает, что последовательные импульсные приближения могут быть применены только к линейно независимым токовым матричным элементам.
Вторая уникальная особенность квантовой теории светового фронта следует из того, что оператор неотрицателен и кинематичен. Кинематическая особенность означает, что генератор является суммой неотрицательных одночастичных генераторов, ( . Из этого следует, что если равен нулю в состоянии, то каждый из индивидуумов также должен исчезнуть в состоянии.
В пертурбативной квантовой теории поля на световом фронте это свойство приводит к подавлению большого класса диаграмм, включая все вакуумные диаграммы, которые имеют нулевое внутреннее . Условие соответствует бесконечному импульсу . Многие упрощения квантовой теории поля на световом фронте реализуются в пределе бесконечного импульса [42] [43] обычной канонической теории поля (см. #Фрейм бесконечного импульса).
Важным следствием спектрального условия на и последующего подавления вакуумных диаграмм в пертурбативной теории поля является то, что пертурбативный вакуум совпадает с вакуумом свободного поля. Это приводит к одному из самых больших упрощений квантовой теории поля на световом фронте, но также приводит к некоторым головоломкам относительно формулировки теорий со спонтанно нарушенными симметриями .
Соколов [44] [45] продемонстрировал, что релятивистские квантовые теории, основанные на различных формах динамики, связаны унитарными преобразованиями, сохраняющими -матрицу. Эквивалентность в теориях поля более сложна, поскольку определение теории поля требует переопределения плохо определенных локальных операторных произведений, которые появляются в динамических генераторах. Это достигается посредством перенормировки. На пертурбативном уровне ультрафиолетовые расходимости канонической теории поля заменяются смесью ультрафиолетовых и инфракрасных расходимостей в теории поля светового фронта. Их необходимо перенормировать таким образом, чтобы восстановить полную вращательную ковариацию и сохранить -матричную эквивалентность. Перенормировка теорий поля светового фронта обсуждается в разделе Вычислительные методы светового фронта#Группа перенормировки .
Одним из свойств классического волнового уравнения является то, что световой фронт является характерной поверхностью для задачи начального значения. Это означает, что данных о световом фронте недостаточно для генерации уникальной эволюции вне светового фронта. Если мыслить чисто классическими терминами, можно ожидать, что эта проблема может привести к плохо определенной квантовой теории при квантовании.
В квантовом случае проблема состоит в том, чтобы найти набор из десяти самосопряженных операторов, которые удовлетворяют алгебре Пуанкаре-Ли. При отсутствии взаимодействий теорема Стоуна, примененная к тензорным произведениям известных унитарных неприводимых представлений группы Пуанкаре, дает набор самосопряженных генераторов светового фронта со всеми требуемыми свойствами. Проблема добавления взаимодействий ничем не отличается [46] , чем в нерелятивистской квантовой механике, за исключением того, что добавленные взаимодействия также должны сохранять коммутационные соотношения.
Однако есть некоторые связанные наблюдения. Одно из них заключается в том, что если серьезно отнестись к классической картине эволюции поверхностей с различными значениями , то можно обнаружить, что поверхности с инвариантны только относительно подгруппы из шести параметров. Это означает, что если выбрать поверхность квантования с фиксированным ненулевым значением , то результирующая квантовая теория потребует четвертого взаимодействующего генератора. Этого не происходит в квантовой механике светового фронта; все семь кинематических генераторов остаются кинематическими. Причина в том, что выбор светового фронта более тесно связан с выбором кинематической подгруппы, чем с выбором поверхности начального значения.
В квантовой теории поля вакуумное ожидание двух полей, ограниченных световым фронтом, не является четко определенным распределением на тестовых функциях, ограниченных световым фронтом. Они становятся четко определенными распределениями только на функциях четырех пространственно-временных переменных. [47] [48]
Динамическая природа вращений в квантовой теории светового фронта означает, что сохранение полной вращательной инвариантности нетривиально. В теории поля теорема Нётер дает явные выражения для генераторов вращения, но усечение до конечного числа степеней свободы может привести к нарушению вращательной инвариантности. Общая проблема заключается в том, как построить динамические генераторы вращения, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям Пуанкаре с и остальными кинематическими генераторами. Связанная проблема заключается в том, что, учитывая, что выбор ориентации светового фронта явно нарушает вращательную симметрию теории, как восстанавливается вращательная симметрия теории?
При заданном динамическом унитарном представлении вращений, , произведение кинематического вращения на обратное соответствующего динамического вращения является унитарным оператором, который (1) сохраняет -матрицу и (2) изменяет кинематическую подгруппу на кинематическую подгруппу с повернутым световым фронтом, . Обратно, если -матрица инвариантна относительно изменения ориентации светового фронта, то динамическое унитарное представление вращений, , может быть построено с использованием обобщенных волновых операторов для различных ориентаций светового фронта [49] [50] [51] [52] [53] и кинематического представления вращений
6 |
Поскольку динамический вход в -матрицу равен , инвариантность -матрицы относительно изменения ориентации светового фронта подразумевает существование последовательного динамического генератора вращения без необходимости явно строить этот генератор. Успех или неудача этого подхода связаны с обеспечением правильных вращательных свойств асимптотических состояний, используемых для построения волновых операторов, что, в свою очередь, требует, чтобы связанные состояния подсистемы преобразовывались неприводимо относительно .
Эти наблюдения ясно показывают, что вращательная ковариантность теории закодирована в выборе гамильтониана светового фронта. Карманов [54] [55] [56] ввел ковариантную формулировку квантовой теории светового фронта, где ориентация светового фронта рассматривается как степень свободы. Этот формализм может быть использован для идентификации наблюдаемых, которые не зависят от ориентации, , светового фронта (см. #Ковариантная формулировка).
В то время как компоненты спина светового фронта инвариантны относительно усилений светового фронта, они вращаются Вигнера под безвращением усилений и обычными вращениями. При вращениях компоненты светового фронта одночастичных спинов разных частиц испытывают разные вращения Вигнера. Это означает, что компоненты спина светового фронта не могут быть напрямую связаны с использованием стандартных правил сложения углового момента. Вместо этого их сначала необходимо преобразовать в более стандартные канонические компоненты спина, которые обладают тем свойством, что вращение Вигнера вращения является вращением. Затем спины можно сложить с использованием стандартных правил сложения углового момента, и полученные составные канонические компоненты спина можно преобразовать обратно в составные компоненты спина светового фронта. Преобразования между различными типами компонентов спина называются вращениями Мелоша. [57] [58] Они представляют собой зависящие от импульса вращения, построенные путем умножения усиления светового фронта, за которым следует инверсия соответствующего безвращенного усиления. Чтобы также добавить относительные орбитальные угловые моменты, относительные орбитальные угловые моменты каждой частицы также должны быть преобразованы в представление, в котором они вращаются по закону Вигнера вместе со спинами.
Хотя проблема сложения спинов и внутренних орбитальных угловых моментов более сложна, [59] только полный угловой момент требует взаимодействия; полный спин не обязательно требует зависимости от взаимодействия. Где зависимость от взаимодействия явно проявляется, так это в соотношении между полным спином и полным угловым моментом [58] [60]
1 |
где здесь и содержат взаимодействия. Поперечные компоненты спина светового фронта могут иметь или не иметь зависимость от взаимодействия; однако, если также требуются свойства кластера, [61] то поперечные компоненты полного спина обязательно имеют зависимость от взаимодействия. Результатом является то, что, выбирая компоненты светового фронта спина как кинематические, можно реализовать полную вращательную инвариантность за счет свойств кластера. В качестве альтернативы легко реализовать свойства кластера за счет полной вращательной симметрии. Для моделей с конечным числом степеней свободы существуют конструкции, которые реализуют как полную вращательную ковариацию, так и свойства кластера; [62] все эти реализации имеют дополнительные многочастичные взаимодействия в генераторах, которые являются функциями взаимодействий меньшего числа тел.
Динамическая природа генераторов вращения означает, что тензорные и спинорные операторы, коммутационные соотношения которых с генераторами вращения линейны по компонентам этих операторов, накладывают динамические ограничения, связывающие различные компоненты этих операторов.
Стратегия выполнения непертурбативных вычислений в теории поля светового фронта похожа на стратегию, используемую в решеточных вычислениях. В обоих случаях непертурбативная регуляризация и перенормировка используются для попытки построить эффективные теории с конечным числом степеней свободы, которые нечувствительны к исключенным степеням свободы. В обоих случаях успех программы перенормировки требует, чтобы теория имела неподвижную точку группы перенормировки; однако детали двух подходов различаются. Методы перенормировки, используемые в теории поля светового фронта, обсуждаются в разделе Методы вычислений светового фронта#Группа перенормировки . В решеточном случае вычисление наблюдаемых в эффективной теории включает оценку интегралов большой размерности, тогда как в случае теории поля светового фронта решения эффективной теории включают решение больших систем линейных уравнений. В обоих случаях многомерные интегралы и линейные системы достаточно хорошо изучены, чтобы формально оценить численные ошибки. На практике такие вычисления можно выполнить только для простейших систем. Расчеты светового фронта имеют особое преимущество, поскольку все вычисления проводятся в пространстве Минковского , а результатами являются волновые функции и амплитуды рассеяния.
В то время как большинство приложений квантовой механики светового фронта относятся к формулировке светового фронта квантовой теории поля, также возможно сформулировать релятивистскую квантовую механику конечных систем непосредственно взаимодействующих частиц с кинематической подгруппой светового фронта. Релятивистская квантовая механика светового фронта формулируется на прямой сумме тензорных произведений одночастичных гильбертовых пространств. Кинематическое представление группы Пуанкаре на этом пространстве является прямой суммой тензорных произведений одночастичных унитарных неприводимых представлений группы Пуанкаре. Динамика фронтальной формы на этом пространстве определяется динамическим представлением группы Пуанкаре на этом пространстве, где , когда находится в кинематической подгруппе группы Пуанкаре.
Одним из преимуществ квантовой механики светового фронта является то, что можно реализовать точную вращательную ковариантность для системы с конечным числом степеней свободы. Способ, которым это делается, заключается в том, чтобы начать с невзаимодействующих генераторов полной группы Пуанкаре, которые являются суммами одночастичных генераторов, построить кинематический инвариантный массовый оператор, три кинематических генератора трансляций, касательных к световому фронту, три кинематических генератора усиления светового фронта и три компонента спинового оператора светового фронта. Генераторы являются хорошо определенными функциями этих операторов [60] [63], заданными как ( 1 ) и . Взаимодействия, которые коммутируют со всеми этими операторами, за исключением кинематической массы, добавляются к кинематическому массовому оператору для построения динамического массового оператора. Использование этого массового оператора в ( 1 ) и выражения для дает набор динамических генераторов Пуанкаре с кинематической подгруппой светового фронта. [62]
Полный набор неприводимых собственных состояний может быть найден путем диагонализации оператора взаимодействующей массы в базисе одновременных собственных состояний компонентов светового фронта кинематических импульсов, кинематической массы, кинематического спина и проекции кинематического спина на ось. Это эквивалентно решению уравнения центра масс Шредингера в нерелятивистской квантовой механике. Полученные собственные состояния массы преобразуются неприводимо под действием группы Пуанкаре. Эти неприводимые представления определяют динамическое представление группы Пуанкаре в гильбертовом пространстве.
Это представление не удовлетворяет свойствам кластера, [61], но это можно восстановить, используя обобщение фронтальной формы [58] [62] рекурсивной конструкции, данной Соколовым. [44]
Система бесконечного импульса (IMF) была первоначально введена [42] [43] для физической интерпретации переменной Бьёркена, измеренной в глубоко неупругом рассеянии лептона на протоне в партонной модели Фейнмана. (Здесь — квадрат переданного пространственноподобного импульса, сообщенного лептоном, а — энергия, переданная в системе покоя протона.) Если рассмотреть гипотетическую систему Лоренца, в которой наблюдатель движется с бесконечным импульсом, , в отрицательном направлении, то можно интерпретировать как долю продольного импульса, переносимую ударенным кварком (или «партоном») во входящем быстро движущемся протоне. Структурная функция протона, измеренная в эксперименте, затем задается квадратом его мгновенной волновой функции, усиленной до бесконечного импульса.
Формально существует простая связь между гамильтоновой формулировкой квантовых теорий поля, квантованной в фиксированное время («мгновенная форма»), где наблюдатель движется с бесконечным импульсом, и гамильтоновой теорией светового фронта, квантованной в фиксированное время светового фронта («фронтовая форма»). Типичный энергетический знаменатель в мгновенной форме имеет вид , где — сумма энергий частиц в промежуточном состоянии. В IMF, где наблюдатель движется с большим импульсом в отрицательном направлении, ведущие члены в сокращаются, и энергетический знаменатель становится , где — квадрат инвариантной массы начального состояния. Таким образом, сохраняя члены в в мгновенной форме, можно восстановить энергетический знаменатель, который появляется в гамильтоновой теории светового фронта. Это соответствие имеет физический смысл: измерения, проводимые наблюдателем, движущимся с бесконечным импульсом, аналогичны проведению наблюдений, приближающихся к скорости света, — таким образом, соответствуя фронтовой форме, где измерения проводятся вдоль фронта световой волны. Пример применения к квантовой электродинамике можно найти в работах Бродского, Роскиса и Суайи. [64]
Состояние вакуума в мгновенной форме, определенной при фиксированном , является акаузальным и бесконечно сложным. Например, в квантовой электродинамике пузырьковые графики всех порядков, начиная с промежуточного состояния, появляются в вакууме основного состояния; однако, как показал Вайнберг [43], такие вакуумные графики зависят от системы отсчета и формально исчезают по степеням при перемещении наблюдателя при . Таким образом, можно снова сопоставить мгновенную форму с формулировкой фронтальной формы, где такие вакуумные петлевые диаграммы не появляются в основном состоянии КЭД. Это происходит потому, что импульс каждого компонента положителен, но должен суммироваться с нулем в вакуумном состоянии, поскольку импульсы сохраняются. Однако, в отличие от мгновенной формы, не требуется никаких динамических усилений, а формулировка фронтальной формы является причинной и независимой от системы отсчета. Формализм бесконечной импульсной системы отсчета полезен как интуитивный инструмент; однако предел не является строгим пределом, и необходимость усиления волновой функции мгновенной формы вносит сложности.
В координатах светового фронта, , , пространственные координаты не входят симметрично: координата выделяется, тогда как и не появляются вообще. Это нековариантное определение разрушает пространственную симметрию, что, в свою очередь, приводит к нескольким трудностям, связанным с тем, что некоторые преобразования системы отсчета могут изменить ориентацию плоскости светового фронта. То есть преобразования системы отсчета и изменение ориентации плоскости светового фронта не отделены друг от друга. Поскольку волновая функция динамически зависит от ориентации плоскости, в которой она определена, при этих преобразованиях волновая функция светового фронта преобразуется динамическими операторами (в зависимости от взаимодействия). Поэтому, в общем случае, нужно знать взаимодействие, чтобы перейти от данной системы отсчета к новой. Потеря симметрии между координатами и также усложняет построение состояний с определенным угловым моментом, поскольку последний является всего лишь свойством волновой функции относительно вращений, которые влияют на все координаты .
Чтобы преодолеть это неудобство, была разработана явно ковариантная версия [54] [55] [56] квантования светового фронта (обзор Карбонелла и др. [65] ), в которой вектор состояния определяется на плоскости светового фронта общей ориентации: (вместо ), где — четырехмерный вектор в четырехмерном пространстве-времени и — также четырехмерный вектор со свойством . В частном случае мы возвращаемся к стандартной конструкции. В явно ковариантной формулировке преобразование системы отсчета и изменение ориентации плоскости светового фронта разделены. Все вращения и преобразования Лоренца являются чисто кинематическими (они не требуют знания взаимодействия), тогда как (динамическая) зависимость от ориентации плоскости светового фронта ковариантно параметризуется зависимостью волновой функции от четырехмерного вектора .
Были сформулированы правила графовой техники, которые для заданного лагранжиана позволяют вычислить пертурбативное разложение вектора состояния, эволюционирующего во времени светового фронта (в отличие от эволюции в направлении или ). Для мгновенной формы динамики эти правила были впервые разработаны Кадышевским. [66] [67] По этим правилам амплитуды светового фронта представляются в виде интегралов по импульсам частиц в промежуточных состояниях. Эти интегралы являются трехмерными, и все четырехмерные импульсы находятся на соответствующих массовых оболочках , в отличие от правил Фейнмана, содержащих четырехмерные интегралы по импульсам внемассовой оболочки. Однако вычисленные амплитуды светового фронта, находясь на массовой оболочке, в общем случае являются амплитудами внеэнергетической оболочки. Это означает, что четырехмерные импульсы на массовой оболочке, от которых зависят эти амплитуды, не сохраняются в направлении (или, в общем случае, в направлении ). Внеэнергетические амплитуды оболочки не совпадают с амплитудами Фейнмана и зависят от ориентации плоскости светового фронта. В ковариантной формулировке эта зависимость явная: амплитуды являются функциями . Это позволяет в полной мере применить к ним известные приемы, разработанные для ковариантных амплитуд Фейнмана (построение инвариантных переменных, аналогичных переменным Мандельстама, от которых зависят амплитуды; разложения в случае частиц со спинами по инвариантным амплитудам; извлечение электромагнитных формфакторов и т. д.). Неприводимые внеэнергетические амплитуды оболочки служат ядрами уравнений для волновых функций светового фронта. Последние находятся из этих уравнений и используются для анализа адронов и ядер.
Для бесспиновых частиц, и в частном случае , амплитуды, найденные по правилам методов ковариантных графов, после замены переменных сводятся к амплитудам, заданным правилами Вайнберга [43] в бесконечной системе импульса. Зависимость от ориентации плоскости светового фронта проявляется в зависимости амплитуд Вайнберга вне энергетической оболочки от переменных, взятых по отдельности, а не в некоторых частных комбинациях, таких как переменные Мандельстама .
На энергетической оболочке амплитуды не зависят от четырехвекторной ориентации соответствующей плоскости светового фронта. Эти амплитуды на энергетической оболочке совпадают с амплитудами на массовой оболочке, заданными правилами Фейнмана. Однако зависимость от может сохраняться из-за приближений.
Ковариантная формулировка особенно полезна для построения состояний с определенным угловым моментом. В этой конструкции четырехвектор участвует на равных правах с другими четырехвекторами, и, следовательно, основная часть этой задачи сводится к хорошо известной. Например, как известно, волновая функция нерелятивистской системы, состоящей из двух бесспиновых частиц с относительным импульсом и с полным угловым моментом , пропорциональна сферической функции : , где и — функция, зависящая от модуля . Оператор углового момента имеет вид: . Тогда волновая функция релятивистской системы в ковариантной формулировке динамики светового фронта приобретает аналогичный вид:
7 |
где и являются функциями, зависящими, помимо , от скалярного произведения . Переменные , инвариантны не только относительно вращений векторов , но и относительно вращений и преобразований Лоренца исходных четырехвекторов , . Второй вклад означает, что оператор полного углового момента в явно ковариантной динамике светового фронта получает дополнительный член: . Для частиц с ненулевым спином этот оператор получает вклад спиновых операторов: [49] [50] [51] [52] [68] [69]
Тот факт, что преобразования, изменяющие ориентацию плоскости светового фронта, являются динамическими (соответствующие генераторы группы Пуанкаре содержат взаимодействие), проявляется в зависимости коэффициентов от скалярного произведения , изменяющегося при изменении ориентации единичного вектора (при фиксированном ). Эта зависимость (вместе с зависимостью от ) находится из динамического уравнения для волновой функции.
Особенностью этой конструкции является тот факт, что существует оператор , который коммутирует как с гамильтонианом, так и с . Тогда состояния маркируются также собственным значением оператора : . При заданном угловом моменте имеются такие состояния. Все они вырождены, т.е. принадлежат одной и той же массе (если не делать приближения). Однако волновая функция должна также удовлетворять так называемому угловому условию [55] [56] [70] [71] [72] После его удовлетворения решение приобретает вид уникальной суперпозиции состояний с различными собственными значениями . [56] [65]
Дополнительный вклад в оператор углового момента светового фронта увеличивает число спиновых компонент в волновой функции светового фронта. Например, нерелятивистская волновая функция дейтрона определяется двумя компонентами ( - и -волнами). В то время как релятивистская волновая функция дейтрона светового фронта определяется шестью компонентами. [68] [69] Эти компоненты были рассчитаны в модели обмена одним бозоном. [73]
Центральным вопросом квантования светового фронта является строгое описание адронов, ядер и их систем из первых принципов КХД. Главными целями исследований с использованием динамики светового фронта являются:
Непертурбативный анализ КХД светового фронта требует следующего:
[89] конечные элементы, функциональные разложения, [90] и полные ортонормированные волновые функции, полученные из AdS/QCD. Это будет основываться на MPI-коде на основе Ланцоша, разработанном для нерелятивистских ядерных физиков и аналогичных кодах для теории Юкавы и низкоразмерных суперсимметричных теорий Янга—Миллса.
Понимать роль методов ренормгруппы, асимптотической свободы и спектральных свойств в количественной оценке ошибок усечения.
и , являются динамическими. Для решения проблемы классификации углового момента необходимо построить собственные состояния и спектры суммы квадратов этих генераторов. Это плата за наличие большего количества кинематических генераторов, чем при квантовании с равным временем, где все три усиления являются динамическими. При квантовании светового фронта усиление вдоль является кинематическим, и это значительно упрощает вычисление матричных элементов, которые включают усиления, например, необходимые для вычисления форм-факторов. Связь с ковариантными подходами Бете–Солпитера, спроецированными на световой фронт, может помочь в понимании проблемы углового момента и ее связи с усечением гамильтониана светового фронта в пространстве Фока. Также следует изучить независимые от модели ограничения из общего углового условия, которому должны удовлетворять амплитуды спиральности светового фронта. Вклад нулевой моды представляется необходимым для того, чтобы адронные форм-факторы удовлетворяли закону сохранения углового момента, как выражено угловым условием. Также следует исследовать связь с квантовой механикой светового фронта, где можно точно реализовать полную вращательную ковариацию и построить явные представления динамических генераторов вращения.
Приблизительная дуальность в пределе безмассовых кварков мотивирует малочастичный анализ спектров мезонов и барионов на основе одномерного уравнения Шредингера на световом фронте в терминах модифицированной поперечной координаты . Были предложены модели, которые расширяют подход на массивные кварки, но необходимо более фундаментальное понимание в рамках КХД. Ненулевые массы кварков вводят нетривиальную зависимость от продольного импульса и тем самым подчеркивают необходимость понимания представления вращательной симметрии в рамках формализма. Исследование волновых функций AdS/QCD как части физически мотивированного базисного набора пространства Фока для диагонализации гамильтониана LFQCD должно пролить свет на оба вопроса. Дополнительная интерпретация Эренфеста [97] может быть использована для введения эффективных степеней свободы, таких как дикварки в барионах.
{{cite book}}
: |journal=
игнорируется ( помощь ) ; Отсутствует или пусто |title=
( помощь ){{cite journal}}
: Отсутствует или пусто |title=
( помощь ){{cite journal}}
: Отсутствует или пусто |title=
( помощь )