Третья теорема Ли

В математике теории Ли третья теорема Ли утверждает , что каждая конечномерная алгебра Ли над действительными числами связана с группой Ли . Теорема является частью соответствия группа Ли–алгебра Ли . ${\mathfrak {g}}$ $G$

Исторически третья теорема ссылалась на другой, но связанный результат. Две предыдущие теоремы Софуса Ли , перефразированные на современный язык, относятся к бесконечно малым преобразованиям группового действия на гладком многообразии . Третья теорема в списке установила тождество Якоби для бесконечно малых преобразований локальной группы Ли . Наоборот, при наличии алгебры Ли векторных полей интегрирование дает локальное групповое действие Ли . Результат, теперь известный как третья теорема, обеспечивает внутреннее и глобальное обращение исходной теоремы.

Исторические заметки

Эквивалентность между категорией односвязных вещественных групп Ли и конечномерными вещественными алгебрами Ли обычно называется (в литературе второй половины 20-го века) теоремой Картана или теоремой Картана-Ли, поскольку она была доказана Эли Картаном . Софус Ли ранее доказал инфинитезимальную версию: локальную разрешимость уравнения Маурера -Картана , или эквивалентность между категорией конечномерных алгебр Ли и категорией локальных групп Ли.

Ли перечислил свои результаты как три прямые и три обратные теоремы. Бесконечно малый вариант теоремы Картана был по сути третьей обратной теоремой Ли. В влиятельной книге ^[1] Жан-Пьер Серр назвал ее третьей теоремой Ли . Название исторически несколько вводит в заблуждение, но часто используется в связи с обобщениями.

Серр привел в своей книге два доказательства: одно основано на теореме Адо , а другое излагает доказательство Эли Картана.

Доказательства

Существует несколько доказательств третьей теоремы Ли, каждое из которых использует различные алгебраические и/или геометрические методы.

Алгебраическое доказательство

Классическое доказательство простое, но опирается на теорему Адо , доказательство которой алгебраично и весьма нетривиально. ^[2] Теорема Адо утверждает, что любая конечномерная алгебра Ли может быть представлена матрицами . Как следствие, интегрирование такой алгебры матриц с помощью матричной экспоненты дает группу Ли, интегрирующую исходную алгебру Ли.

Когомологическое доказательство

Более геометрическое доказательство принадлежит Эли Картану и было опубликовано Виллемом ван Эстом [nl] . ^[3] Это доказательство использует индукцию по размерности центра и включает комплекс Шевалле-Эйленберга . ^[4]

Геометрическое доказательство

Другое геометрическое доказательство было обнаружено в 2000 году Дуйстермаатом и Колком. ^[5] В отличие от предыдущих, это конструктивное доказательство : интегрирующая группа Ли строится как фактор (бесконечномерной) банаховой группы Ли путей на алгебре Ли по подходящей подгруппе. Это доказательство оказало влияние на теорию Ли ^[6], поскольку оно проложило путь к обобщению третьей теоремы Ли для группоидов Ли и алгеброидов Ли . ^[7]

Смотрите также

Интегратор группы Ли

Ссылки

^ Жан-Пьер Серр (1992)[1965] Алгебры Ли и группы Ли: Лекции, прочитанные в Гарвардском университете в 1964 году , стр. 152, Springer ISBN 978-3-540-55008-2
^ Тао, Теренс (2011-05-10). "Теорема Адо". Что нового . Получено 2022-09-18 .
^ Ван Эст, Виллем (1987). «Une démonstration de E. Cartan du troisième théorème de Lie» [Доказательство Эли Картана третьей теоремы Ли]. Действия Hamiltoniennes des groups, troisième théorème de Lie, travaux en cours (на французском языке). 27 . Париж: Герман: 83–96.
^ Эберт, Иоганнес. «Изложение Ван Эстом доказательства Картана третьей теоремы Ли» (PDF) .
^ Дуистермаат, Джей Джей ; Колк, JAC (2000). Группы лжи. Университетский текст. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-642-56936-4. ISBN 978-3-540-15293-4.
^ Сьямаар, Рейер (25 октября 2011 г.). «Вклад Ганса Дуистермаата в геометрию Пуассона». arXiv : 1110,5627 [math.HO].
^ Crainic, Marius ; Fernandes, Rui (2003-03-01). «Интегрируемость скобок Ли». Annals of Mathematics . 157 (2): 575–620. arXiv : math/0105033 . doi : 10.4007/annals.2003.157.575 . ISSN 0003-486X. S2CID 6992408.

Картан, Эли (1930), «Теория конечных и непрерывных групп и анализа ситуации », Mémorial Sc. Математика. , том. XLII, стр. 1–61.
Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, doi : 10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666
Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Graduate Studies in Mathematics , т. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2848-9, г-н 1834454

Внешние ссылки

Статья в Энциклопедии математики (ЭМ)

[1] Жан-Пьер Серр (1992)[1965] Алгебры Ли и группы Ли: Лекции, прочитанные в Гарвардском университете в 1964 году , стр. 152, Springer ISBN 978-3-540-55008-2

[2] Тао, Теренс (2011-05-10). "Теорема Адо". Что нового . Получено 2022-09-18 .

[3] Ван Эст, Виллем (1987). «Une démonstration de E. Cartan du troisième théorème de Lie» [Доказательство Эли Картана третьей теоремы Ли]. Действия Hamiltoniennes des groups, troisième théorème de Lie, travaux en cours (на французском языке). 27 . Париж: Герман: 83–96.

[4] Эберт, Иоганнес. «Изложение Ван Эстом доказательства Картана третьей теоремы Ли» (PDF) .

[5] Дуистермаат, Джей Джей ; Колк, JAC (2000). Группы лжи. Университетский текст. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-642-56936-4. ISBN 978-3-540-15293-4.

[:5-6] Сьямаар, Рейер (25 октября 2011 г.). «Вклад Ганса Дуистермаата в геометрию Пуассона». arXiv : 1110,5627 [math.HO].

[7] Crainic, Marius ; Fernandes, Rui (2003-03-01). «Интегрируемость скобок Ли». Annals of Mathematics . 157 (2): 575–620. arXiv : math/0105033 . doi : 10.4007/annals.2003.157.575 . ISSN 0003-486X. S2CID 6992408.