последовательность Лемера

В математике последовательность Лемера или является обобщением последовательности Лукаса или , допускающей квадратный корень целого числа R вместо целого числа P . ^[1]${\displaystyle U_{n}({\sqrt {R}},Q)}$${\displaystyle V_{n}({\sqrt {R}},Q)}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

Чтобы гарантировать, что значение всегда является целым числом, каждый второй член последовательности Лемера делится на √ R по сравнению с соответствующей последовательностью Люка. То есть, когда R = P ^2, последовательности Лемера и Люка связаны следующим образом:

${\displaystyle {\begin{align}P\,U_{2n}({\sqrt {P^{2}}},Q)&=U_{2n}(P,Q)&U_{2n+1}({\sqrt {P^{2}}},Q)&=U_{2n+1}(P,Q)\\V_{2n}({\sqrt {P^{2}}},Q)&=V_{2n}(P,Q)&P\,V_{2n+1}({\sqrt {P^{2}}},Q)&=V_{2n+1}(P,Q)\end{align}}}$

Если a и b — комплексные числа с

${\displaystyle a+b={\sqrt {R}}}$

${\displaystyle ab=Q}$

при следующих условиях:

• Q и R — взаимно простые ненулевые целые числа.
• ${\displaystyle а/б}$не является корнем из единицы .

Тогда соответствующие числа Лемера будут такими:

${\displaystyle U_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{ab}}}$

для нечетного n и

${\displaystyle U_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a^{2}-b^{2}}}}$

для n четного .

Их сопутствующие номера:

${\displaystyle V_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}+b^{n}}{a+b}}}$

для нечетных n и

${\displaystyle V_{n}({\sqrt {R}},Q)=a^{n}+b^{n}}$

для n четных.

Числа Лемера образуют линейное рекуррентное соотношение с

${\displaystyle U_{n}=(R-2Q)U_{n-2}-Q^{2}U_{n-4}=(a^{2}+b^{2})U_{n-2}-a^{2}b^{2}U_{n-4}}$

с начальными значениями . Аналогично последовательность-компаньон удовлетворяет${\displaystyle U_{0}=0,\,U_{1}=1,\,U_{2}=1,\,U_{3}=RQ=a^{2}+ab+b^{2} }$

${\displaystyle V_{n}=(R-2Q)V_{n-2}-Q^{2}V_{n-4}=(a^{2}+b^{2})V_{n-2 }-a^{2}b^{2}V_{n-4}}$

с начальными значениями${\displaystyle V_{0}=2,\,V_{1}=1,\,V_{2}=R-2Q=a^{2}+b^{2},\,V_{3}=R -3Q=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Все рекуррентные последовательности Люка применимы к последовательностям Лемера, если они разделены на случаи для четных и нечетных n и включены соответствующие множители √ R. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{2n}({\sqrt {R}},Q)&={\phantom {R\,}}U_{2n-1}({\sqrt {R}}, Q)-Q\,U_{2n-2}({\sqrt {R}},Q)&U_{2n+1}({\sqrt {R}},Q)&=R\,U_{2n}({\sqrt {R}},Q)-Q\,U_{2n-1}({\sqrt {R}},Q)\\ V_{2n}({\sqrt {R}},Q)&=R\,V_{2n-1}({\sqrt {R}},Q)-Q\,V_{2n-2}({\sqrt {R}},Q)&V_{2n+1}({\sqrt {R}},Q)&={\phantom {R\,}}V_{2n}({\sqrt {R}},Q) -Q\,V_{2n-1}({\sqrt {R}},Q)\end{aligned}}}$

Эта статья по теории чисел — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е