отношение Лежандра

В математике соотношение Лежандра может быть выражено в одной из двух форм: как соотношение между полными эллиптическими интегралами или как соотношение между периодами и квазипериодами эллиптических функций . Эти две формы эквивалентны, поскольку периоды и квазипериоды могут быть выражены через полные эллиптические интегралы. Оно было введено (для полных эллиптических интегралов) А. М. Лежандром  (1811, 1825, стр. 61).

Полные эллиптические интегралы

Соотношение Лежандра, выраженное с использованием полных эллиптических интегралов, имеет вид

К ′ Э + К Э ′ − К К ′ = π 2 {\displaystyle K'E+KE'-KK'={\frac {\pi }{2}}}

где K и K ′ — полные эллиптические интегралы первого рода для значений, удовлетворяющих k 2 + k ′ 2 = 1 , а E и E ′ — полные эллиптические интегралы второго рода.

Эта форма соотношения Лежандра выражает тот факт, что вронскиан полных эллиптических интегралов (рассматриваемых как решения дифференциального уравнения) является константой.

Эллиптические функции

Соотношение Лежандра, выраженное с использованием эллиптических функций, имеет вид

ω 2 η 1 − ω 1 η 2 = 2 π я {\displaystyle \omega _{2}\eta _{1}-\omega _{1}\eta _{2}=2\pi i\,}

где ω 1 и ω 2 — периоды эллиптической функции Вейерштрасса , а η 1 и η 2 — квазипериоды дзета-функции Вейерштрасса . Некоторые авторы нормализуют их по-другому, различаясь на множители 2, в этом случае правая часть соотношения Лежандра равна π i или  π i  / 2. Это соотношение можно доказать, проинтегрировав дзета-функцию Вейерштрасса по границе фундаментальной области и применив теорему Коши о вычетах .

Доказательство

Доказательство лемнискатического случая

Лемнискатический арксинус и дополнительный лемнискатический арксинус определяются следующим образом:

arcsl ⁡ ( г ) = ∫ 0 г 1 1 − ρ 4 г ρ = 1 2 2 К ( 1 2 2 ) − 1 2 2 Э [ арккос ⁡ ( г ) ; 1 2 2 ] {\displaystyle \operatorname {arcsl} (r)=\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}}
arcsl ∗ ⁡ ( г ) = ∫ 0 г 1 + ρ 2 1 − ρ 4 г ρ = 2 Э ( 1 2 2 ) − 2 Э [ арккос ⁡ ( г ) ; 1 2 2 ] {\displaystyle \operatorname {arcsl} ^{*}(r)=\int _{0}^{r}{\frac {1+\rho ^{2}}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\sqrt {2}}\,E{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}}

И эти производные действительны:

г г г arcsl ⁡ ( г ) = 1 1 − г 4 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatorname {arcsl} (r)={\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}}
г г г arcsl ∗ ⁡ ( г ) = 1 + г 2 1 − г 4 = ( 1 + г 2 1 − г 2 ) 1 / 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatorname {arcsl} ^{*}(r)={\frac {1+r^{2}}{\sqrt {1-r^{4}}}}={\biggl (}{\frac {1+r^{2}}{1-r^{2}}}{\biggr )}^{1/2}}

Лемнискатический случай тождества Лежандра можно показать следующим образом:

Приведена следующая формула, использующая лемнискатные функции дуги в качестве первообразных:

1 1 − х 4 arcsl ∗ ⁡ ( х ) − 1 − х 2 1 − х 4 arcsl ⁡ ( х ) = ∫ 0 1 х 3 ( у 2 + 1 ) ( 1 − х 4 ) ( 1 − х 4 у 4 ) г у {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatorname {arcsl} ^{*}(x)-{\frac {1-x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatorname {arcsl} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}

При построении исходной первообразной относительно x получается следующая формула:

arcsl ⁡ ( x ) [ arcsl ∗ ⁡ ( x ) − arcsl ⁡ ( x ) ] = ∫ 0 1 y 2 + 1 2 y 2 [ artanh ⁡ ( y 2 ) − artanh ⁡ ( 1 − x 4 y 2 1 − x 4 y 4 ) ] d y {\displaystyle \operatorname {arcsl} (x){\bigl [}\operatorname {arcsl} ^{*}(x)-\operatorname {arcsl} (x){\bigr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}{\biggl [}\operatorname {artanh} (y^{2})-\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}

Подставив значение в эту формулу, получим следующий результат: x = 1 {\displaystyle x=1}

arcsl ⁡ ( 1 ) [ arcsl ∗ ⁡ ( 1 ) − arcsl ⁡ ( 1 ) ] = ∫ 0 1 y 2 + 1 2 y 2 artanh ⁡ ( y 2 ) d y = π 4 {\displaystyle \operatorname {arcsl} (1){\bigl [}\operatorname {arcsl} ^{*}(1)-\operatorname {arcsl} (1){\bigr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}}

Ввиду тождественности функций K, F и E, эта формула может быть непосредственно выведена из этого результата:

K ( 1 2 2 ) [ 2 E ( 1 2 2 ) − K ( 1 2 2 ) ] = π 2 {\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl [}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {\pi }{2}}}

Доказательство общего случая

Согласно только что выполненному выводу, приведенный выше результат является действительным и отображается здесь в обобщенном виде:

2 E ( 1 2 2 ) K ( 1 2 2 ) − K ( 1 2 2 ) 2 = π 2 {\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}

Теперь модульный общий случай должен быть доказан следующим образом. Для этого выводятся производные полных эллиптических интегралов. А затем определяется вывод баланса тождества Лежандра.

Доказательство производной эллиптического интеграла первого рода:

d d ε K ( ε ) = d d ε ∫ 0 1 1 ( 1 − x 2 ) ( 1 − ε 2 x 2 ) d x = ∫ 0 1 d d ε 1 ( 1 − x 2 ) ( 1 − ε 2 x 2 ) d x = ∫ 0 1 ε x 2 ( 1 − x 2 ) ( 1 − ε 2 x 2 ) 3 d x = {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=}
= ∫ 0 1 1 − ε 2 x 2 ε ( 1 − ε 2 ) ( 1 − x 2 ) d x − ∫ 0 1 1 ε ( 1 − x 2 ) ( 1 − ε 2 x 2 ) d x − ∫ 0 1 ε ( 1 − 2 x 2 + ε 2 x 4 ) ( 1 − ε 2 ) ( 1 − x 2 ) ( 1 − ε 2 x 2 ) 3 d x = {\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon (1-2x^{2}+\varepsilon ^{2}x^{4})}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=}
= 1 ε ( 1 − ε 2 ) E ( ε ) − 1 ε K ( ε ) − ∫ 0 1 d d x ε x 1 − x 2 ( 1 − ε 2 ) 1 − ε 2 x 2 d x = 1 ε ( 1 − ε 2 ) [ E ( ε ) − ( 1 − ε 2 ) K ( ε ) ] {\displaystyle ={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}E(\varepsilon )-{\frac {1}{\varepsilon }}K(\varepsilon )-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\varepsilon x{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}

Доказательство производной эллиптического интеграла второго рода:

d d ε E ( ε ) = d d ε ∫ 0 1 1 − ε 2 x 2 1 − x 2 d x = ∫ 0 1 d d ε 1 − ε 2 x 2 1 − x 2 d x = ∫ 0 1 − ε x 2 ( 1 − x 2 ) ( 1 − ε 2 x 2 ) d x = {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=}
= − ∫ 0 1 1 ε ( 1 − x 2 ) ( 1 − ε 2 x 2 ) d x + ∫ 0 1 1 − ε 2 x 2 ε ( 1 − x 2 ) d x = − 1 ε [ K ( ε ) − E ( ε ) ] {\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}}

Для пифагорейских контрмодулей и согласно правилу цепочки справедливо следующее соотношение:

d d ε K ( 1 − ε 2 ) = 1 ε ( 1 − ε 2 ) [ ε 2 K ( 1 − ε 2 ) − E ( 1 − ε 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}
d d ε E ( 1 − ε 2 ) = ε 1 − ε 2 [ K ( 1 − ε 2 ) − E ( 1 − ε 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}

Поскольку производная функции окружности является отрицательным произведением так называемой тождественной функции и обратной функции окружности. Соотношение Лежандра всегда включает произведения двух полных эллиптических интегралов. Для вывода функциональной стороны из шкалы уравнения тождества Лежандра правило произведения теперь применяется следующим образом:

d d ε K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) = 1 ε ( 1 − ε 2 ) [ E ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) − K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) + ε 2 K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}
d d ε E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) = 1 ε ( 1 − ε 2 ) [ − E ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) + E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) − ( 1 − ε 2 ) K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}
d d ε K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) = 1 ε ( 1 − ε 2 ) [ E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) − K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) − ( 1 − 2 ε 2 ) K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}

Из этих трех уравнений сложение двух верхних уравнений и вычитание нижнего уравнения дает следующий результат:

d d ε [ K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) + E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) − K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) ] = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}

По отношению к ε весы постоянно дают нулевое значение.

Полученный ранее результат применяется к модулю следующим образом: ε = 1 / 2 {\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}

2 E ( 1 2 2 ) K ( 1 2 2 ) − K ( 1 2 2 ) 2 = π 2 {\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}

Комбинация последних двух формул дает следующий результат:

K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) + E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) − K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) = π 2 {\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\pi }{2}}}

Потому что если производная непрерывной функции постоянно принимает значение ноль, то рассматриваемая функция является постоянной функцией. Это означает, что эта функция приводит к одному и тому же значению функции для каждого значения абсциссы ε, и график соответствующей функции, следовательно, представляет собой горизонтальную прямую линию.

Ссылки

  • Дюрен, Питер (1991), "Соотношение Лежандра для эллиптических интегралов", в Ewing, John H.; Gehring, FW (ред.), Paul Halmos. Празднование 50-летия математики, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 305-315, doi :10.1007/978-1-4612-0967-6_32, ISBN 0-387-97509-8, г-н  1113282
  • Карацуба, Е.А.; Вуоринен, М. (2001), «О гипергеометрических функциях и обобщениях соотношения Лежандра», J. Math. Anal. Appl. , 260 (2): 623– 640, MR  1845572
  • Лежандр, AM (1811), Exercices de Calcul intégral sur divers ordres de Transantetes et sur les Quadtures , vol. я, Париж
  • Лежандр, AM (1825), Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes , vol. я, Париж
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Legendre%27s_relation&oldid=1142513671"