Дефицит (статистика)

В статистике дефицит — это мера сравнения статистической модели с другой статистической моделью. Эта концепция была введена в 1960-х годах французским математиком Люсьеном Ле Камом , который использовал ее для доказательства приближенной версии теоремы Блэквелла–Шермана–Штейна. ^{[1] [2]} Тесно связана с расстоянием Ле Кама , псевдометрикой максимального дефицита между двумя статистическими моделями. Если дефицит модели по отношению к равен нулю, то говорят, что лучше , информативнее или сильнее, чем .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Ле Кам определил статистическую модель более абстрактно, чем вероятностное пространство с семейством вероятностных мер. Он также не использовал термин «статистическая модель», а вместо этого использовал термин «эксперимент». В своей публикации 1964 года он представил статистический эксперимент для набора параметров как тройку , состоящую из набора , векторной решетки с единицей и семейства нормализованных положительных функционалов на . ^{[3] [4]} В своей книге 1986 года он опустил и . ^[5] Эта статья следует его определению 1986 года и использует его терминологию, чтобы подчеркнуть обобщение.${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle (X,E,(P_{\theta })_{\theta \in \Theta })}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (P_{\theta })_{\theta \in \Theta }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

Пусть будет параметрическим пространством. Дано абстрактное L ₁ -пространство (т.е. банахова решетка, такая что для элементов также выполняется), состоящее из линейных положительных функционалов . Эксперимент - это отображение вида , такое что . - полоса, индуцированная и поэтому мы используем обозначение . Для обозначим . Топологическое сопряженное к L-пространству с сопряженной нормой называется абстрактным M-пространством . Это также решетка с единицей, определенной через для .${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle (L,\|\cdot \|)}$${\displaystyle x,y\geq 0}$${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|}$${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}:\Theta \to L}$${\displaystyle \theta \mapsto P_{\theta }}$${\displaystyle \|P_{\theta }\|=1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$${\displaystyle L({\mathcal {E}})}$${\displaystyle \mu \in L({\mathcal {E}})}$${\displaystyle \mu ^{+}=\mu \vee 0=\max(\mu ,0)}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \|u\|_{M}=\sup\{|\langle u,\mu \rangle |;\|\mu \|_{L}\leq 1\}}$${\displaystyle I\mu =\|\mu ^{+}\|_{L}-\|\mu ^{-}\|_{L}}$${\displaystyle \mu \in L}$

Пусть и будут двумя L-пространствами двух экспериментов и , тогда положительное, сохраняющее норму линейное отображение, т.е. для всех , называется переходом. Сопряженный к переходу — это положительное линейное отображение из дуального пространства в дуальное пространство , такое, что единица является образом единицы ist. ^[5]${\displaystyle L(A)}$${\displaystyle L(B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \|T\mu ^{+}\|=\|\mu ^{+}\|}$${\displaystyle \mu \in L(A)}$${\displaystyle M_{B}}$${\displaystyle L(B)}$${\displaystyle M_{A}}$${\displaystyle L(A)}$${\displaystyle M_{A}}$${\displaystyle M_{B}}$

Пусть — пространство параметров, а и — два эксперимента, индексированные как . Пусть и обозначают соответствующие L-пространства, а — множество всех переходов из в .${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle {\mathcal {E}}:\theta \to P_{\theta }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}:\theta \to Q_{\theta }}$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle L({\mathcal {E}})}$${\displaystyle L({\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle L({\mathcal {E}})}$${\displaystyle L({\mathcal {F}})}$

Дефицит по отношению к — это число , определяемое через inf sup :${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}):=\inf \limits _{T\in {\mathcal {T}}}\sup \limits _{\theta \in \Theta }{\tfrac {1}{2}}\|Q_{\theta }-TP_{\theta }\|_{\text{TV}},}$^[6]

где обозначена общая норма вариации . Фактор используется только для вычислительных целей и иногда опускается.${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{TV}}}$ ${\displaystyle \|\mu \|_{\text{TV}}=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Расстояние Ле Кама — это следующая псевдометрика

${\displaystyle \Delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}):=\operatorname {max} \left(\delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}),\delta ({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})\right).}$

Это индуцирует отношение эквивалентности и когда , то говорят, что и эквивалентны . Эквивалентный класс также называется типом .${\displaystyle \Delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})=0}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle C_{\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Часто интересуются семействами экспериментов с и с . Если как , то говорят, что и асимптотически эквивалентны .${\displaystyle ({\mathcal {E}}_{n})_{n}}$${\displaystyle \{P_{n,\theta }\colon \theta \in \Theta _{n}\}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n}}$${\displaystyle \{Q_{n,\theta }\colon \theta \in \Theta _{n}\}}$${\displaystyle \Delta ({\mathcal {E}}_{n},{\mathcal {F}}_{n})=0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle ({\mathcal {E}}_{n})}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})}$

Пусть будет параметрическим пространством и будет множеством всех типов, которые индуцируются , тогда расстояние Ле Кама является полным относительно . Условие индуцирует частичный порядок на , можно сказать, что он лучше или более информативен или сильнее , чем . ^[6]${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle E(\Theta )}$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle E(\Theta )}$${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})=0}$${\displaystyle E(\Theta )}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• Le Cam, Lucien (1986). Асимптотические методы в статистической теории принятия решений . Springer Series in Statistics. Springer, New York. doi :10.1007/978-1-4612-4946-7.
• Le Cam, Lucien (1964). «Достаточность и приближенная достаточность». Annals of Mathematical Statistics . 35 (4). Institute of Mathematical Statistics : 1419– 1455. doi : 10.1214/aoms/1177700372 .
• Торгерсен, Эрик (1991). Сравнение статистических экспериментов . Cambridge University Press, Соединенное Королевство. doi :10.1017/CBO9780511666353.