Универсальное кольцо Лазара

В математике универсальное кольцо Лазара — это кольцо, введенное Мишелем Лазаром в работе Lazard (1955), над которым определен универсальный коммутативный одномерный формальный групповой закон .

Существует универсальный коммутативный одномерный формальный групповой закон над универсальным коммутативным кольцом , определяемый следующим образом. Пусть

${\displaystyle F(x,y)}$

быть

${\displaystyle x+y+\sum _{i,j}c_{i,j}x^{i}y^{j}}$

для неопределенных , и мы определяем универсальное кольцо R как коммутативное кольцо, порожденное элементами , с отношениями, которые навязываются законами ассоциативности и коммутативности для формальных групповых законов. Более или менее по определению, кольцо R имеет следующее универсальное свойство:${\displaystyle c_{i,j}}$${\displaystyle c_{i,j}}$

Для каждого коммутативного кольца S одномерные формальные групповые законы над S соответствуют кольцевым гомоморфизмам из R в  S.

Коммутативное кольцо R, построенное выше, известно как универсальное кольцо Лазара . На первый взгляд оно кажется невероятно сложным: отношения между его образующими очень запутанны. Однако Лазар доказал, что оно имеет очень простую структуру: это просто кольцо полиномов (над целыми числами) от образующих степени 1, 2, 3, ..., где имеет степень . Дэниел Квиллен  (1969) доказал, что кольцо коэффициентов комплексного кобордизма естественно изоморфно как градуированное кольцо универсальному кольцу Лазара. Поэтому топологи обычно переградуируют кольцо Лазара так, что имеет степень , поскольку кольцо коэффициентов комплексного кобордизма равномерно градуировано.${\displaystyle c_{i,j}}$${\displaystyle (i+j-1)}$${\displaystyle c_{i,j}}$${\displaystyle 2(i+j-1)}$

• Адамс, Дж. Франк (1974), Стабильная гомотопия и обобщенная гомология, Издательство Чикагского университета , ISBN 978-0-226-00524-9
• Лазар, Мишель (1955), «Sur les groupes de Lie formels à un paramètre», Bulletin de la Société Mathématique de France , 83 : 251–274 , doi : 10.24033/bsmf.1462 , MR  0073925
• Лазар, Мишель (1975), Коммутативные формальные группы , Lecture Notes in Mathematics, т. 443, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0070554, ISBN 978-3-540-07145-7, МР  0393050
• Куиллен, Дэниел (1969), «О формальных групповых законах теории неориентированных и комплексных кобордизмов», Бюллетень Американского математического общества , 75 (6): 1293– 1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12401-8 , MR  0253350