Теорема эквивалентности Лакса

В численном анализе теорема эквивалентности Лакса является фундаментальной теоремой в анализе методов конечных разностей для численного решения уравнений с частными производными . Она утверждает, что для последовательного метода конечных разностей для корректно поставленной линейной задачи начального значения метод является сходящимся тогда и только тогда, когда он устойчив . ^[1]

Важность теоремы заключается в том, что, хотя сходимость решения метода конечных разностей к решению уравнения в частных производных является желаемой, ее обычно трудно установить, поскольку численный метод определяется рекуррентным соотношением , в то время как дифференциальное уравнение включает дифференцируемую функцию. Однако согласованность — требование, чтобы метод конечных разностей приближал правильное уравнение в частных производных — легко проверить, а устойчивость обычно гораздо проще показать, чем сходимость (и она в любом случае понадобится, чтобы показать, что ошибка округления не разрушит вычисление). Поэтому сходимость обычно показывают с помощью теоремы эквивалентности Лакса.

Устойчивость в этом контексте означает, что матричная норма матрицы, используемой в итерации, не превышает единицы , что называется (практической) устойчивостью Лакса–Рихтмайера. ^[2] Часто для удобства заменяется анализом устойчивости по фон Нейману , хотя устойчивость по фон Нейману подразумевает устойчивость по Лаксу–Рихтмайеру только в определенных случаях.

Эта теорема принадлежит Питеру Лаксу . Иногда ее называют теоремой Лакса–Рихтмайера , в честь Питера Лакса и Роберта Д. Рихтмайера . ^[3]

Ссылки

^ Strikwerda, John C. (1989). Конечно-разностные схемы и уравнения в частных производных (1-е изд.). Chapman & Hall. стр. 26, 222. ISBN 0-534-09984-X.
^ Смит, ГД (1985). Численное решение уравнений с частными производными: методы конечных разностей (3-е изд.). Oxford University Press. С. 67–68. ISBN 0-19-859641-3.
^ Лакс, PD; Рихтмайер, RD (1956). «Обзор устойчивости линейных конечно-разностных уравнений». Comm. Pure Appl. Math. 9 (2): 267–293. doi :10.1002/cpa.3160090206. MR 0079204.

Эта статья по прикладной математике – заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

[1] Strikwerda, John C. (1989). Конечно-разностные схемы и уравнения в частных производных (1-е изд.). Chapman & Hall. стр. 26, 222. ISBN 0-534-09984-X.

[2] Смит, ГД (1985). Численное решение уравнений с частными производными: методы конечных разностей (3-е изд.). Oxford University Press. С. 67–68. ISBN 0-19-859641-3.

[3] Лакс, PD; Рихтмайер, RD (1956). «Обзор устойчивости линейных конечно-разностных уравнений». Comm. Pure Appl. Math. 9 (2): 267–293. doi :10.1002/cpa.3160090206. MR 0079204.