Метод Лакса–Вендроффа

Метод Лакса–Вендроффа , названный в честь Питера Лакса и Бертона Вендроффа , ^[1] — это численный метод решения гиперболических уравнений в частных производных , основанный на конечных разностях . Он имеет точность второго порядка как в пространстве, так и во времени. Этот метод является примером явного интегрирования по времени , где функция, определяющая основное уравнение, оценивается в текущий момент времени.

Предположим, что имеется уравнение следующего вида: где x и t — независимые переменные, а начальное состояние u ( x , 0) задано.$${\displaystyle {\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u(x,t))}{\partial x}}=0}$$

В линейном случае, когда f ( u ) = Au , а A — константа, ^[2] Здесь относится к размерности, а относится к размерности. Эту линейную схему можно распространить на общий нелинейный случай разными способами. Один из них — позволить$${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}A\left[u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}A^{2}\left[u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right].}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle т}$${\displaystyle я}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle A(u)=f'(u)={\frac {\partial f}{\partial u}}}$$

Консервативная форма уравнения Лакса-Вендроффа для общего нелинейного уравнения имеет вид: где матрица Якоби оценивается при .$${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}\left[A_{i+1/2}\left(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})\right)-A_{i-1/2}\left(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right)\right].}$$${\displaystyle A_{i\pm 1/2}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i\pm 1}^{n})}$

Чтобы избежать оценки Якобиана, используйте двухэтапную процедуру.

Далее следует двухшаговый метод Рихтмайера Лакса–Вендроффа. Первый шаг двухшагового метода Рихтмайера Лакса–Вендроффа вычисляет значения для f ( u ( x , t )) на половине временного шага, t _{n + 1/2} и половине точек сетки, x _{i + 1/2} . На втором шаге значения в t _{n + 1} вычисляются с использованием данных для t _n и t _{n + 1/2} .

Первые (слабые) шаги:$${\displaystyle u_{i+1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})),}$$$${\displaystyle u_{i-1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$$

Второй шаг:$${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left[f(u_{i+1/2}^{n+1/2})-f(u_{i-1/2}^{n+1/2})\right].}$$

Другой метод этого же типа был предложен МакКормаком. Метод МакКормака использует сначала прямое дифференцирование, а затем обратное дифференцирование:

Первый шаг: Второй шаг:$${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})).}$$$${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i}^{*})-f(u_{i-1}^{*})\right].}$$

Альтернативно, Первый шаг: Второй шаг:$${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$$$${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{*})-f(u_{i}^{*})\right].}$$

• Майкл Дж. Томпсон, Введение в астрофизическую гидродинамику , Imperial College Press, Лондон, 2006.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Раздел 20.1. Flux Conservative Initial Value Problems". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. стр. 1040. ISBN 978-0-521-88068-8.