Принцип инвариантности Ла-Саля

Принцип инвариантности Ла-Саля (также известный как принцип инвариантности , ^[1] принцип Барбашина-Красовского-Ла-Саля , ^[2] или принцип Красовского-Ла-Саля ) — критерий асимптотической устойчивости автономной (возможно, нелинейной) динамической системы .

Предположим, что система представлена ​​как

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)}$

где - вектор переменных, при этом${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .}$

Если (см. Гладкость ) функция может быть найдена такая, что${\displaystyle С^{1}}$ ${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$ для всех (отрицательно полуопределенных),${\displaystyle \mathbf {x} }$

тогда множество точек накопления любой траектории ^{[ требуется пояснение ]} содержится в , где — объединение полных траекторий, целиком содержащихся в множестве . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}}$

Если дополнительно имеем, что функция положительно определена, т.е.${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$, для всех ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$

${\displaystyle V(\mathbf {0} )=0}$

и если не содержит ни одной траектории системы, кроме тривиальной траектории для , то начало координат асимптотически устойчиво .${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} }$${\displaystyle t\geq 0}$

Кроме того, если радиально неограничен, т.е.${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(\mathbf {x} )\to \infty }$, как ${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty }$

тогда начало координат глобально асимптотически устойчиво .

Если

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$, когда ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$

справедливы только для некоторой окрестности начала координат, а множество${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle D}$

${\displaystyle \{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\cap D}$

не содержит никаких траекторий системы, кроме траектории , то локальная версия принципа инвариантности утверждает, что начало координат локально асимптотически устойчиво .${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0}$

Если отрицательно определена, то глобальная асимптотическая устойчивость начала координат является следствием второй теоремы Ляпунова . Принцип инвариантности дает критерий асимптотической устойчивости в случае, когда только отрицательно полуопределена.${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$

Пример взят из «Принципа инвариантности Ла-Саля, лекция 23, математика 634», Кристофера Гранта . ^[3]

Рассмотрим векторное поле на плоскости. Функция удовлетворяет , и радиально неограничена, показывая, что начало координат глобально асимптотически устойчиво.${\displaystyle ({\dot {x}},{\dot {y}})=(-y-x^{3},x^{5})}$${\displaystyle V(x,y)=x^{6}+3y^{2}}$${\displaystyle {\dot {V}}=-6x^{8}}$

В этом разделе будет применен принцип инвариантности для установления локальной асимптотической устойчивости простой системы, маятника с трением. Эту систему можно смоделировать с помощью дифференциального уравнения ^[4]

${\displaystyle ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}}$

где — угол, который маятник образует с вертикальной нормалью, — масса маятника, — длина маятника, — коэффициент трения , а g — ускорение свободного падения.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle m}$${\displaystyle l}$${\displaystyle k}$

Это, в свою очередь, можно записать в виде системы уравнений

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=x_{2}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}}$

Используя принцип инвариантности, можно показать, что все траектории, которые начинаются в шаре определенного размера вокруг начала координат, асимптотически сходятся к началу координат. Мы определяем как${\displaystyle x_{1}=x_{2}=0}$${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}}$

Это просто масштабированная энергия системы. ^[4] Очевидно, положительно определена в открытом шаре радиуса вокруг начала координат. Вычисляя производную,${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}}$

Заметим, что и . Если бы было верно, что , мы могли бы заключить, что каждая траектория приближается к началу координат по второй теореме Ляпунова . К сожалению, и является только отрицательно полуопределенной, поскольку может быть ненулевым, когда . Однако множество${\displaystyle V(0)=0}$${\displaystyle {\dot {V}}(0)=0}$${\displaystyle {\dot {V}}<0}$${\displaystyle {\dot {V}}\leq 0}$${\displaystyle {\dot {V}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle {\dot {V}}=0}$

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}}$

который является просто набором

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}}$

не содержит ни одной траектории системы, кроме тривиальной траектории . Действительно, если в какой-то момент времени , , то поскольку должно быть меньше, чем вдали от начала координат, и . В результате траектория не останется в наборе .${\displaystyle x=0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{2}(t)=0}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \sin x_{1}\neq 0}$${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)\neq 0}$${\displaystyle S}$

Все условия локальной версии принципа инвариантности выполнены, и мы можем заключить, что каждая траектория, которая начинается в некоторой окрестности начала координат, будет сходиться к началу координат как . ^[5]${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

Общий результат был независимо открыт JP LaSalle (тогда в RIAS ) и NN Krasovskii , которые опубликовали в 1960 и 1959 годах соответственно. В то время как LaSalle был первым автором на Западе, опубликовавшим общую теорему в 1960 году, частный случай теоремы был сообщен в 1952 году Барбашиным и Красовским , за которым последовала публикация общего результата в 1959 году Красовским . ^[6]

• Теория устойчивости
• устойчивость по Ляпунову

• ЛаСалль, Дж. П. Некоторые расширения второго метода Ляпунова, Труды IRE по теории цепей, CT-7, стр. 520–527, 1960. (PDF-архив 30.04.2019 на Wayback Machine )
• Барбашин Е.А.; Николай Николаевич Красовский (1952). Об устойчивости движения в целомОб устойчивости движения в целом // Доклады АН СССР . 86 : 453–456.
• Красовский, Н.Н. Проблемы теории устойчивости движения , 1959. Английский перевод: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

• ЛаСалль, Дж. П.; Лефшец , С. (1961). Устойчивость по прямому методу Ляпунова . Academic Press.
• Хаддад, В. М.; Челлабоина, В. С. (2008). Нелинейные динамические системы и управление, подход на основе Ляпунова. Princeton University Press. ISBN 9780691133294.
• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Виггинс, С. (2003). Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос (2-е изд.). Нью-Йорк Сити : Springer Verlag . ISBN 0-387-00177-8.

• Заметки Техасского университета A&M о принципе инвариантности (PDF)
• Заметки Университета штата Северная Каролина о принципе инвариантности Ла-Саля (PDF).
• Заметки Калтеха о принципе инвариантности Ла-Саля (PDF).
• Заметки MIT OpenCourseware по анализу устойчивости по Ляпунову и принципу инвариантности (PDF).