Гипотеза Куммера–Вандивера

Гипотеза Куммера–Вандивера
ПолеАлгебраическая теория чисел
ПредположительноЭрнст Куммер
Предположительно в1849
Открытая проблемаДа

В математике гипотеза Куммера –Вандивера или гипотеза Вандивера утверждает, что простое число p не делит число классов h K максимального вещественного подполя p -го циклотомического поля . Гипотеза была впервые высказана Эрнстом Куммером 28 декабря 1849 года и 24 апреля 1853 года в письмах Леопольду Кронекеру , перепечатана в (Kummer 1975, страницы 84 , 93, 123–124), и независимо переоткрыта около 1920 года Филиппом Фуртвенглером и Гарри Вандивером  (1946, стр. 576), К = В ( ζ п ) + {\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}}

По состоянию на 2011 год не существует особенно веских доказательств ни за, ни против этой гипотезы, и неясно, верна она или нет, хотя вполне вероятно, что контрпримеры встречаются очень редко.

Фон

Номер класса h циклотомического поля является произведением двух целых чисел h 1 и h 2 , называемых первым и вторым множителями номера класса, где h 2 — номер класса максимального вещественного подполя p -го циклотомического поля . Первый множитель h 1 хорошо понятен и может быть легко вычислен в терминах чисел Бернулли и обычно довольно велик. Второй множитель h 2 не очень понятен и его трудно вычислить явно, а в случаях, когда он был вычислен, он обычно мал. В ( ζ п ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} К = В ( ζ п ) + {\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}}

Куммер показал, что если простое число p не делит номер класса h , то Великая теорема Ферма верна для показателя p .

Гипотеза Куммера–Вандивера утверждает, что p не делит второй множитель h 2 . Куммер показал, что если p делит второй множитель, то оно также делит и первый множитель. В частности, гипотеза Куммера–Вандивера верна для регулярных простых чисел (тех, для которых p не делит первый множитель).

Доказательства за и против гипотезы Куммера–Вандивера

Куммер проверил гипотезу Куммера–Вандивера для p меньше 200, а Вандивер распространил ее на p меньше 600. Джо Бюлер, Ричард Крэндалл и Рейо Эрнвалл и др. (2001) проверили ее для p < 12 миллионов. Бюлер и Харви (2011) распространили ее на простые числа меньше 163 миллионов, а Харт, Харви и Онг (2017) распространили ее на простые числа меньше 2 31 .

Вашингтон (1996, стр. 158) описывает неформальный вероятностный аргумент, основанный на довольно сомнительных предположениях о равнораспределении чисел классов mod p , предполагая, что число простых чисел, меньших x , которые являются исключениями из гипотезы Куммера–Вандивера, может расти как (1/2)log log  x . Это растет чрезвычайно медленно и предполагает, что компьютерные вычисления не предоставляют достаточно доказательств для гипотезы Вандивера: например, вероятностный аргумент (в сочетании с вычислениями для малых простых чисел) предполагает, что следует ожидать только около 1 контрпримера в первых 10 100 простых числах, предполагая, что маловероятно, что какой-либо контрпример будет найден дальнейшими поисками методом грубой силы, даже если есть бесконечное количество исключений.

Schoof (2003) дал предположительные вычисления чисел классов реальных циклотомических полей для простых чисел до 10000, которые убедительно свидетельствуют о том, что числа классов не распределены случайно по модулю p . Они, как правило, довольно малы и часто равны всего 1. Например, если принять обобщенную гипотезу Римана , число классов реального циклотомического поля для простого числа p равно 1 для p < 163 и делится на 4 для p = 163. Это говорит о том, что неформальный вероятностный аргумент Вашингтона против гипотезы может быть обманчивым.

Михайлеску (2010) представил усовершенствованную версию эвристического аргумента Вашингтона, предположив, что гипотеза Куммера–Вандивера, вероятно, верна.

Следствия гипотезы Куммера – Вандивера.

Курихара (1992) показал, что эта гипотеза эквивалентна утверждению в алгебраической K-теории целых чисел, а именно, что K n ( Z ) = 0, когда n кратно 4. Фактически из гипотезы Куммера–Вандивера и теоремы об изоморфизме норменного вычета следует полное предполагаемое вычисление K -групп для всех значений n ; подробности см. в гипотезе Квиллена–Лихтенбаума .

Смотрите также

Ссылки

  • Buhler, Joe ; Crandall, Richard ; Ernvall, Reijo; Metsänkylä, Tauno; Shokrollahi, M. Amin (2001), Bosma, Wieb (ред.), "Irregular primes and cyclotomic invariants to 12 million", Computational algebra and number theory (Proceedings of the 2nd International Magma Conference performed at Marquette University, Milwaukee, WI, May 12–16, 1996), Journal of Symbolic Computation , 31 (1): 89–96, doi : 10.1006/jsco.1999.1011 , ISSN  0747-7171, MR  1806208
  • Ghate, Eknath (2000), "Гипотеза Вандивера через K-теорию" (PDF) , в Adhikari, SD; Katre, SA; Thakur, Dinesh (ред.), Циклотомические поля и смежные темы , Труды летней школы по циклотомическим полям, состоявшейся в Пуне, 7–30 июня 1999 г., Bhaskaracharya Pratishthana, Пуна, стр. 285–298, MR  1802389
  • Бюлер, Дж. П.; Харви, Д. (2011), «Неправильные простые числа до 163 миллионов», Математика вычислений , 80 (276): 2435–2444, arXiv : 0912.2121 , doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02461-0 , MR  2813369
  • Харт, Уильям; Харви, Дэвид; Онг, Уилсон (2017), «Неправильные простые числа до двух миллиардов», Математика вычислений , 86 (308): 3031–3049, arXiv : 1605.02398 , doi : 10.1090/mcom/3211, MR  3667037, S2CID  37245286
  • Куммер, Эрнст Эдуард (1975), Вейль, Андре (ред.), Сборник статей. Том 1: Вклад в теорию чисел , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06835-0, МР  0465760
  • Курихара, Масато (1992), «Некоторые замечания о гипотезах о циклотомических полях и K-группах Z», Compositio Mathematica , 81 (2): 223–236, ISSN  0010-437X, MR  1145807
  • Михайлеску, Преда (2010), Обращение эвристики Вашингтона в пользу гипотезы Вандивера , arXiv : 1011.6283 , Bibcode : 2010arXiv1011.6283M
  • Schoof, René (2003), "Числа классов действительных циклотомических полей простого проводника", Mathematics of Computation , 72 (242): 913–937, doi : 10.1090/S0025-5718-02-01432-1 , ISSN  0025-5718, MR  1954975
  • Вандивер, Х.С. (1946), «Великая теорема Ферма. Ее история и природа известных результатов, касающихся ее», The American Mathematical Monthly , 53 (10): 555–578, doi :10.1080/00029890.1946.11991754, ISSN  0002-9890, JSTOR  2305236, MR  0018660
  • Вашингтон, Лоуренс К. (1996), Введение в циклотомические поля , Springer, ISBN 978-0-387-94762-4
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kummer–Vandiver_conjecture&oldid=1189770764"