Продукт Кулкарни–Номидзу

В математической области дифференциальной геометрии произведение Кулкарни – Номидзу (названное в честь Равиндры Шрипада Кулкарни и Кацуми Номидзу ) определяется для двух (0, 2) -тензоров и дает в результате (0, 4) -тензор.

Если h и k являются симметричными (0, 2) -тензорами, то произведение определяется через: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}):={}&h(X_{1},X_{3})k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})k(X_{1},X_{3})\\&{}-h(X_{1},X_{4})k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})k(X_{1},X_{4})\\[3pt]{}={}&{\begin{vmatri x}h(X_{1},X_{3})&h(X_{1},X_{4})\\k(X_{2},X_{3})&k(X_{2},X_{4})\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}k(X_{1},X_{3})&k(X_{1},X_{4})\\h(X_{2},X_{3})&h(X_{2},X_{4})\end{vmatrix}}\end{выровнено}}}$

где X _j — касательные векторы, а — определитель матрицы . Отметим, что , как видно из второго выражения. ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k=k{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}h}$

Относительно базиса касательного пространства он принимает компактный вид${\displaystyle \{\partial _{i}\}}$

${\displaystyle (h~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~k)_{ijlm}=(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(\partial _{i},\partial _{j},\partial _{l},\partial _{m})=2h_{i[l}k_{m]j}+2h_{j[m}k_{l]i}\,,}$

где обозначает символ полной антисимметризации .${\displaystyle [\точки]}$

Произведение Кулкарни–Номидзу является частным случаем произведения в градуированной алгебре

${\displaystyle \bigoplus _{p=1}^{n}S^{2}\left(\Omega ^{p}M\right),}$

где, на простых элементах,

${\displaystyle (\alpha \cdot \beta ){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}(\gamma \cdot \delta )=(\alpha \wedge \gamma )\odot (\beta \wedge \delta )}$

( обозначает симметричное произведение ).${\displaystyle \odot }$

Произведение Кулкарни–Номидзу пары симметричных тензоров имеет алгебраические симметрии тензора Римана . ^[2] Например, на пространственных формах (т.е. пространствах постоянной секционной кривизны ) и двумерных гладких римановых многообразиях тензор кривизны Римана имеет простое выражение в терминах произведения Кулкарни–Номидзу метрики на себя; а именно, если мы обозначим через${\displaystyle g=g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}}$

${\displaystyle \operatorname {R} (\partial _{i},\partial _{j})\partial _{k}={R^{l}}_{ijk}\partial _{l}}$

(1, 3) -тензор кривизны и

${\displaystyle \operatorname {Rm} =R_{ijkl}dx^{i}\otimes dx^{j}\otimes dx^{k}\otimes dx^{l}}$

тензор кривизны Римана с , тогда${\displaystyle R_{ijkl}=g_{im}{R^{m}}_{jkl}}$

${\displaystyle \operatorname {Rm} ={\frac {\operatorname {Scal} }{4}}g~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~g,}$

где скалярная кривизна и${\displaystyle \operatorname {Scal} =\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} ={R^{i}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} (Y,Z)=\operatorname {tr} _{g}\lbrace X\mapsto \operatorname {R} (X,Y)Z\rbrace }$

— тензор Риччи , который в компонентах читается как . Раскрывая произведение Кулкарни–Номидзу, используя определение выше, получаем${\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}}$${\displaystyle g~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~g}$

${\displaystyle R_{ijkl}={\frac {\operatorname {Scal} }{4}}g_{i[k}g_{l]j}={\frac {\operatorname {Scal} }{2}}(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})\,.}$

Это то же самое выражение, которое приведено в статье о тензоре кривизны Римана .

По этой причине его обычно используют для выражения вклада, который кривизна Риччи (или, скорее, тензор Схоутена ) и тензор Вейля вносят в кривизну риманова многообразия . Это так называемое разложение Риччи полезно в дифференциальной геометрии .

Когда имеется метрический тензор g , произведение Кулкарни–Номидзу g на себя является тождественным эндоморфизмом пространства 2-форм Ω ² ( M ) при отождествлении (с использованием метрики) кольца эндоморфизмов End(Ω ² ( M )) с тензорным произведением Ω ² ( M ) ⊗ Ω ² ( M ).

Риманово многообразие имеет постоянную секционную кривизну k тогда и только тогда, когда тензор Римана имеет вид

${\displaystyle R={\frac {k}{2}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}$

где g — метрический тензор .