Категория Крулля–Шмидта

В теории категорий , разделе математики, категория Крулля–Шмидта — это обобщение категорий, в которых справедлива теорема Крулля–Шмидта . Они возникают, например, при изучении конечномерных модулей над алгеброй .

Пусть C — аддитивная категория , или, более общо, аддитивная R -линейная категория для коммутативного кольца  R. Мы называем C категорией Крулля–Шмидта при условии, что каждый объект разлагается в конечную прямую сумму объектов, имеющих локальные кольца эндоморфизмов. Эквивалентно, C имеет расщепляемые идемпотенты , а кольцо эндоморфизмов каждого объекта является полусовершенным .

Имеется аналог теоремы Крулля–Шмидта в категориях Крулля–Шмидта:

Объект называется неразложимым , если он не изоморфен прямой сумме двух ненулевых объектов. В категории Крулля–Шмидта имеем, что

• Объект неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально.
• каждый объект изоморфен конечной прямой сумме неразложимых объектов.
• если где и все неразложимы, то , и существует перестановка такая, что для всех i .${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2}\oplus \cdots \oplus X_{r}\cong Y_{1}\oplus Y_{2}\oplus \cdots \oplus Y_{s}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y_{j}}$${\displaystyle r=s}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle X_{\пи (i)}\cong Y_{i}}$

Можно определить колчан Ауслендера–Райтена категории Крулля–Шмидта.

• Абелева категория , в которой каждый объект имеет конечную длину . ^[1] Сюда входит как частный случай категория конечномерных модулей над алгеброй.
• Категория конечно-порождённых модулей над конечной ^[2] R -алгеброй , где R - коммутативное нётерово полное локальное кольцо . ^[3]
• Категория когерентных пучков на полном многообразии над алгебраически замкнутым полем . ^[4]

Категория конечно-порожденных проективных модулей над целыми числами имеет расщепляемые идемпотенты, и каждый модуль изоморфен конечной прямой сумме копий регулярного модуля, число которых задается рангом . Таким образом, категория имеет единственное разложение на неразложимые элементы, но не является категорией Крулля-Шмидта, поскольку регулярный модуль не имеет локального кольца эндоморфизмов.

• Колчан
• Конверт Каруби

• Майкл Атья (1956) О теореме Крулля-Шмидта в применении к пучкам Bull. Soc. Math. France 84, 307–317.
• Хеннинг Краузе, Категории Крулля-Ремака-Шмидта и проективные покрытия, май 2012 г.
• Ирвинг Райнер (2003) Максимальные порядки. Исправленное переиздание оригинала 1975 года. С предисловием М. Дж. Тейлора. Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 28. The Clarendon Press, Oxford University Press, Оксфорд. ISBN  0-19-852673-3 .
• Клаус Михаэль Рингель (1984) Ручные алгебры и целочисленные квадратичные формы , Lecture Notes in Mathematics 1099 , Springer-Verlag, 1984.