Теорема Каждана–Маргулиса
Теорема в теории Ли в математике

В теории Ли , области математики , теорема Каждана–Маргулиса — это утверждение, утверждающее, что дискретная подгруппа в полупростых группах Ли не может быть слишком плотной в группе. Точнее, в любой такой группе Ли существует равномерная окрестность единичного элемента , такая, что каждая решетка в группе имеет сопряженную , пересечение которой с этой окрестностью содержит только единицу. Этот результат был доказан в 1960-х годах Давидом Кажданом и Григорием Маргулисом . [1]

Заявление и замечания

Формальная формулировка теоремы Каждана–Маргулиса выглядит следующим образом.

Пусть — полупростая группа Ли: существует открытая окрестность единицы в такая, что для любой дискретной подгруппы существует элемент, удовлетворяющий . Г {\displaystyle G} У {\displaystyle U} е {\displaystyle е} Г {\displaystyle G} Г ⊂ Г {\displaystyle \Гамма \subset G} г ∈ Г {\displaystyle g\in G} г Г г − 1 ∩ У = { е } {\displaystyle g\Gamma g^{-1}\cap U=\{e\}}

Заметим, что в общих группах Ли это утверждение далеко от истины; в частности, в нильпотентной группе Ли для любой окрестности единицы существует решетка в группе, которая порождается ее пересечением с окрестностью: например, в решетка удовлетворяет этому свойству для достаточно малых . Р н {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ε З н {\displaystyle \varepsilon \mathbb {Z} ^{n}} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}

Доказательство

Основной технический результат Каждана–Маргулиса, который интересен сам по себе и из которого непосредственно следует более известное утверждение выше, заключается в следующем. [2]

Для полупростой группы Ли без компактных факторов , наделенной нормой , существует , окрестность в , компактное подмножество такое, что для любой дискретной подгруппы существует такое, что для всех . Г {\displaystyle G} | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} с > 1 {\displaystyle с>1} У 0 {\displaystyle U_{0}} е {\displaystyle е} Г {\displaystyle G} Э ⊂ Г {\displaystyle E\subset G} Г ⊂ Г {\displaystyle \Гамма \subset G} г ∈ Э {\displaystyle g\in E} | г γ г − 1 | ≥ с | γ | {\displaystyle |g\gamma g^{-1}|\geq c|\gamma |} γ ∈ Г ∩ У 0 {\displaystyle \gamma \in \Gamma \cap U_ {0}}

Окрестность получается как окрестность Цассенхауза тождества в : теорема затем следует из стандартных рассуждений теории Ли. У 0 {\displaystyle U_{0}} Г {\displaystyle G}

Существуют также и другие доказательства. Есть одно доказательство, которое по своей природе более геометрично и может дать больше информации, [3] [4] и есть третье доказательство, опирающееся на понятие инвариантных случайных подгрупп, которое значительно короче. [5]

Приложения

Гипотеза Сельберга

Одной из целей Каждана–Маргулиса было доказать следующее утверждение, известное в то время как гипотеза Сельберга (напомним, что решетка называется однородной, если ее факторпространство компактно):

Решетка в полупростой группе Ли неоднородна тогда и только тогда, когда она содержит унипотентный элемент.

Этот результат следует из более технической версии теоремы Каждана–Маргулиса и того факта, что только унипотентные элементы могут быть сопряжены сколь угодно близко (для данного элемента) к тождественному.

Объемы локально симметричных пространств

Следствием теоремы является то, что локально симметричные пространства и орбифолды, связанные с решетками в полупростой группе Ли, не могут иметь сколь угодно малый объем (при нормировке меры Хаара).

Для гиперболических поверхностей это следует из Зигеля, и существует явная нижняя граница для наименьшего кообъема фактора гиперболической плоскости по решетке в (см. теорему Гурвица об автоморфизмах ). Для гиперболических трехмерных многообразий решетка минимального объема известна, и ее кообъем составляет около 0,0390. [6] В более высоких размерностях проблема нахождения решетки минимального объема все еще открыта, хотя она была решена при ограничении подклассом арифметических групп . [7] π / 21 {\displaystyle \пи /21} П С Л 2 ( Р ) {\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R})}

Теорема Вана о конечности

Вместе с локальной жесткостью и конечной генерацией решеток теорема Каждана-Маргулиса является важным компонентом в доказательстве теоремы Вана о конечности. [8]

Если — простая группа Ли, не изоморфная локально или имеющая фиксированную меру Хаара, и в существует лишь конечное число решеток с кообъемом меньше . Г {\displaystyle G} С Л 2 ( Р ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R})} С Л 2 ( С ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C})} в > 0 {\displaystyle v>0} Г {\displaystyle G} в {\displaystyle v}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Каждан, Дэвид ; Маргулис, Григорий (1968). «Доказательство гипотезы Сельберга». Математика. Сборник СССР . 4 . Перевод З. Скальского: 147–152 . doi :10.1070/SM1968v004n01ABEH002782. МР  0223487.
  2. ^ Рагунатан 1972, Теорема 11.7.
  3. ^ Геландер, Цачик (2011). «Объем в зависимости от ранга решеток». Журнал для королевы и математики . 2011 (661): 237–248 . arXiv : 1102.3574 . дои : 10.1515/CRELLE.2011.085. S2CID  122888051.
  4. ^ Баллманн, Вернер; Громов, Михаил ; Шредер, Виктор (1985). Многообразия неположительной кривизны . Прогресс в математике. Т. 61. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс. doi : 10.1007/978-1-4684-9159-3 . ISBN 978-1-4684-9161-6.
  5. ^ Геландер, Цачик (2018). «Теорема Каждана-Маргулиса для инвариантных случайных подгрупп». Успехи в математике . 327 : 47–51 . arXiv : 1510.05423 . doi : 10.1016/j.aim.2017.06.011. S2CID  119314646.
  6. ^ Маршалл, Тимоти Х.; Мартин, Гейвен Дж. (2012). «Минимальные гиперболические решетки совместного объема, II: Простое кручение в группе Клейна». Annals of Mathematics . 176 : 261– 301. doi : 10.4007/annals.2012.176.1.4 . MR  2925384.
  7. ^ Белолипецкий, Михаил; Эмери, Винсент (2014). «Гиперболические многообразия малого объема» (PDF) . Documenta Mathematica . 19 : 801– 814. arXiv : 1310.2270 . doi :10.4171/dm/464. S2CID  303659.
  8. ↑ Теорема 8.1 в Wang, Hsien-Chung (1972), «Темы о полностью разрывных группах», в Boothby, William M.; Weiss, Guido L. (ред.), Symmetric Spaces, краткие курсы, представленные в Washington Univ. , Pure and Applied Mathematics., т. 1, Marcel Dekker, стр.  459–487 , Zbl  0232.22018

Ссылки

  • Gelander, Tsachik (2014). «Лекции по решеткам и локально симметричным пространствам». В Bestvina, Mladen; Sageev, Michah; Vogtmann, Karen (ред.). Геометрическая теория групп . стр.  249–282 . arXiv : 1402.0962 . Bibcode :2014arXiv1402.0962G.
  • Рагунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Спрингер-Верлаг . МР  0507234.
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kazhdan–Margulis_theorem&oldid=1199304834"