Список k-однородных мозаик

Пример k -однородных мозаик

1-униформа (обычная)
1-равномерный (полурегулярный)

2-равномерная черепица
3-равномерная черепица

k -однородная мозаика — это мозаика мозаик плоскости выпуклыми правильными многоугольниками , соединенными ребром к ребру, с k типами вершин. 1-однородная мозаика включает 3 правильные мозаики и 8 полуправильных мозаик. 1-однородная мозаика может быть определена ее конфигурацией вершин . Более высокие k -однородные мозаики перечислены по их вершинным фигурам, но, как правило, не идентифицируются таким образом однозначно .

Полные списки k -однородных мозаик были пронумерованы до k=6. Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородная мозаика, 151 4-однородная мозаика, 332 5-однородных мозаики и 673 6-однородных мозаики. В этой статье перечислены все решения до k =5.

Эта квадратная мозаика является изогональной и равногранной , но не однородной, поскольку не имеет краёв.

Другие мозаики правильных многоугольников, не являющиеся ребрами, допускают различные размеры многоугольников и непрерывное смещение положений контакта.

Классификация

3-однородная мозаика #57 из 61 цветная

по сторонам, желтые треугольники, красные квадраты (по многоугольникам)
по 4-х равногранным позициям, 3 закрашенных цвета треугольников (по орбитам)

Такие периодические мозаики выпуклых многоугольников можно классифицировать по числу орбит вершин, ребер и плиток. Если имеется k орбит вершин, мозаика известна как k -равномерная или k - изогональная ; если имеется t орбит плиток, как t - изоэдральная ; если имеется e орбит ребер, как e - изотоксальная .

k -однородные мозаики с одинаковыми вершинными фигурами можно дополнительно идентифицировать по их групповой симметрии.

Перечисление

1-однородные мозаики включают 3 правильные мозаики и 8 полуправильных, с 2 или более типами правильных многоугольных граней. Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородная мозаика, 151 4-однородная мозаика, 332 5-однородных мозаики и 673 6-однородных мозаики. Каждая из них может быть сгруппирована по числу m различных вершинных фигур, которые также называются m -архимедовыми мозаиками . [1]

Наконец, если число типов вершин совпадает с однородностью ( ниже m = k ), то говорят, что мозаика является Кротенхердтовой . В общем случае однородность больше или равна числу типов вершин ( m ≥ k ), так как разные типы вершин обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Если положить m = n = k , то получится 11 таких мозаик для n = 1; 20 таких мозаик для n = 2; 39 таких мозаик для n = 3; 33 таких мозаики для n = 4; 15 таких мозаик для n = 5; 10 таких мозаик для n = 6; и 7 таких мозаик для n = 7.

k - равномерный, m - архимедовы подсчеты мозаики [2]
м -Архимедов
1234567891011121314≥ 15Общий
к -равномерный111011
2020020
302239061
403385330151
507414994150332
6010028418792100673
70?????70?
80?????2000?
90??????800?
100??????27000?
110???????1000?
120????????0000?
130???????????00?
140????????????00?
≥ 150?????????????0?
Общий11∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞0∞

1-однородные мозаики (правильные)

Говорят, что мозаика регулярна , если группа симметрии мозаики действует транзитивно на флаги мозаики, где флаг — это тройка, состоящая из взаимно инцидентной вершины , ребра и плитки мозаики. Это означает, что для каждой пары флагов существует операция симметрии, отображающая первый флаг во второй. Это эквивалентно тому, что мозаика является мозаикой « ребро-к-ребру» из конгруэнтных правильных многоугольников. В вершине должно быть шесть равносторонних треугольников , четыре квадрата или три правильных шестиугольника , что дает три правильных мозаики.

Правильные мозаики (3)
стр6м, *632стр4м, *442

3 6
(т=1, е=1)
6 3
(т=1, е=1)
4 4
(т=1, е=1)

m-архимедовы и k-однородные мозаики

Транзитивность вершин означает, что для каждой пары вершин существует операция симметрии, отображающая первую вершину во вторую. [3]

Если требование флаговой транзитивности ослабляется до требования вершинной транзитивности, при этом сохраняется условие, что мозаика является ребром-к-ребру, то возможны восемь дополнительных мозаик, известных как архимедовы , однородные или полуправильные мозаики. Обратите внимание, что существуют две зеркальные (энантиоморфные или хиральные ) формы мозаики 3 4 .6 (плосконосая шестиугольная), только одна из которых показана в следующей таблице. Все остальные правильные и полуправильные мозаики являются ахиральными.

Грюнбаум и Шепард различают описание этих мозаик как архимедовых , ссылаясь только на локальное свойство расположения плиток вокруг каждой вершины, которое является одинаковым, и как единообразных , ссылаясь на глобальное свойство транзитивности вершин. Хотя они дают тот же набор мозаик на плоскости, в других пространствах есть архимедовы мозаики, которые не являются однородными.

1-однородные мозаики (полуправильные)

Равномерные плитки (8)
стр6м, *632



[ 3.12 2 ]
(t=2, e=2)


[ 3.4.6.4 ]
(т=3, е=2)


[ 4.6.12 ]
(т=3, е=3)


[ (3.6) 2 ]
(t=2, e=1)



[ 4.8 2 ]
(t=2, e=2)


[ 3 2 .4.3.4 ]
(т=2, е=2)


[ 3 3 .4 2 ]
(т=2, е=3)


[ 3 4 .6 ]
(т=3, е=3)

2-однородные мозаики

Существует двадцать (20) 2-однородных мозаик евклидовой плоскости. (также называемых 2- изогональными мозаиками или полуправильными мозаиками ) [4] [5] [6] Типы вершин перечислены для каждой. Если две мозаики имеют одинаковые два типа вершин, им присваиваются индексы 1,2.

2-однородные мозаики (20)
стр6м, *632стр4м, *442

[3 6 ; 3 2 .4.3.4
(т=3, е=3)
[3.4.6.4; 3 2 .4.3.4
(t=4, e=4)
[3.4.6.4; 3 3 .4 2 ]
(t=4, e=4)
[3.4.6.4; 3.4 2 .6]
(t=5, e=5)
[4.6.12; 3.4.6.4]
(т=4, е=4)
[3 6 ; 3 2 .4.12]
(t=4, e=4)
[3.12.12; 3.4.3.12]
(т=3, е=3)
стр6м, *632стр.6, 632стр.6, 632смм, 2*22пмм, *2222смм, 2*22пмм, *2222

[3 6 ; 3 2 .6 2 ]
(t=2, e=3)
[3 6 ; 3 4 .6] 1
(t=3, e=3)
[3 6 ; 3 4 .6] 2
(t=5, e=7)
[3 2 .6 2 ; 3 4 .6]
(t=2, e=4)
[3.6.3.6; 3 2 .6 2 ]
(t=2, e=3)
[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 2
(t=3, e=4)
[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 1
(t=4, e=4)
п4г, 4*2пгг, 22×смм, 2*22смм, 2*22пмм, *2222смм, 2*22

[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1
(t=4, e=5)
[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2
(t=3, e=6)
[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1
(t=2, e=4)
[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2
(t=3, e=5)
[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1
(t=3, e=4)
[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2
(t=4, e=5)

3-однородные мозаики

Существует 61 3-однородная мозаика евклидовой плоскости. 39 из них являются 3-архимедовыми с 3 различными типами вершин, а 22 имеют 2 идентичных типа вершин в различных орбитах симметрии. Chavey (1989)

3-однородные мозаики, 3 типа вершин

3-однородные мозаики с 3 типами вершин (39)

[3.4 2 6; 3.6.3.6; 4.6.12]
(t=6, e=7)
[3 6 ; 3 2 4.12; 4.6.12]
(t=5, e=6)
[3 2 4.12; 3.4.6.4; 3.12 2 ]
(t=5, e=6)
[3.4.3.12; 3.4.6.4; 3.12 2 ]
(t=5, e=6)
[3 3 4 2 ; 3 2 4.12; 3.4.6.4]
(т=6, е=8)

[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 4.12]
(т=6, е=7)
[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3 2 4.12]
(t=5, e=6)
[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4]
(т=5, е=6)
[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4 2 6]
(т=5, е=6)
[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4]
(т=5, е=6)

[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3.4.6.4]
(т=6, е=6)
[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4]
(т=6, е=6)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4]
(т=4, е=5)
[3 2 4.12; 3.4.3.12; 3.12 2 ]
(t=4, e=7)
[3.4.6.4; 3.4 2 6; 4 4 ]
(t=3, e=4)

[3 2 4.3.4; 3.4.6.4; 3.4 2 6]
(t=4, e=6)
[3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4; 4 4 ]
(т=4, е=6)
[3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ]
(t=5, e=7)
[3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ]
(t=6, e=7)
[3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ]
(t=4, e=5)

[3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ]
(t=5, e=6)
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3,4 2 6]
(т=5, е=8)
[3 2 6 2 ; 3.4 2 6; 3.6.3.6]
(t=4, e=7)
[3 2 6 2 ; 3.4 2 6; 3.6.3.6]
(т=5, е=7)
[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3.4 2 6]
(т=5, е=7)

[3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ]
(т=4, е=5)
[3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ]
(т=2, е=4)
[3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
(т=2, е=5)
[3 6 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
(т=2, е=3)
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
(т=5, е=8)

[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
(т=3, е=5)
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
(т=3, е=6)
[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6]
(т=5, е=6)
[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6]
(т=4, е=4)
[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6]
(т=3, е=3)

[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
(т=4, е=6)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
(т=5, е=7)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
(т=3, е=5)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
(т=4, е=6)

3-однородные мозаики, 2 типа вершин (2:1)

3-однородные мозаики (2:1) (22)

[(3.4.6.4)2; 3.4 2 6]
(т=6, е=6)
[(3 6 )2; 3 4 6]
(т=3, е=4)
[(3 6 )2; 3 4 6]
(т=5, е=5)
[(3 6 )2; 3 4 6]
(т=7, е=9)
[3 6 ; (3 4 6)2]
(т=4, е=6)

[3 6 ; (3 2 4.3.4)2]
(т=4, е=5)
[(3.4 2 6)2; 3.6.3.6]
(т=6, е=8)
[3.4 2 6; (3.6.3.6)2]
(t=4, e=6)
[3.4 2 6; (3.6.3.6)2]
(t=5, e=6)
[3 2 6 2 ; (3.6.3.6)2]
(т=3, е=5)

[(3 4 6)2; 3.6.3.6]
(т=4, е=7)
[(3 4 6)2; 3.6.3.6]
(т=4, е=7)
[3 3 4 2 ; (4 4 )2]
(т=4, е=7)
[(3 3 4 2 )2; 4 4 ]
(т=5, е=7)
[3 3 4 2 ; (4 4 )2]
(т=3, е=6)

[(3 3 4 2 )2; 4 4 ]
(т=4, е=6)
[(3 3 4 2 )2; 3 2 4.3.4]
(т=5, е=8)
[3 3 4 2 ; (3 2 4.3.4)2]
(т=6, е=9)
[3 6 ; (3 3 4 2 )2]
(т=5, е=7)
[3 6 ; (3 3 4 2 )2]
(т=4, е=6)

[(3 6 )2; 3 3 4 2 ]
(т=6, е=7)
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ]
(т=5, е=6)

4-однородные мозаики

Существует 151 4-однородная мозаика евклидовой плоскости. Поиск Брайана Гейлбаха воспроизвел список Кротенхердта из 33 4-однородных мозаик с 4 различными типами вершин, а также нашел 85 из них с 3 типами вершин и 33 с 2 типами вершин.

4-однородные мозаики, 4 типа вершин

Всего их 33 с 4 типами вершин.

4-однородные мозаики с 4 типами вершин (33)

[33434; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12]
[33434; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12]
[3 6 ; 33434; 334,12; 3.12 2 ]

[3 6 ; 33434; 343,12; 3.12 2 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]
[3 6 ; 33434; 3464; 3446]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]

[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]
[334.12; 343.12; 3464; 46.12]
[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3.12 2 ]
[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 4 4 ]
[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3.12 2 ]

[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 4 4 ]
[33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636]

[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446]
[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]

[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]

[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]

4-однородные мозаики, 3 типа вершин (2:1:1)

Всего их 85 с 3 типами вершин.

4-однородные мозаики (2:1:1)

[3464; (3446) 2 ; 46.12]
[3464; 3446; (46.12) 2 ]
[334,12; 3464; (3,12 2 ) 2 ]
[343,12; 3464; (3,12 2 ) 2 ]
[33434; 343.12; (3464) 2 ]

[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 334,12]
[(3464) 2 ; 3446; 3636]
[3464; 3446; (3636) 2 ]
[3464; (3446) 2 ; 3636]
[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 33434]

[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 33434]
[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ]
[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ]
[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ]

[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ]
[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ]
[3 6 ; (3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ]
[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636]
[(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ]

[(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636) 2 ]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636) 2 ]
[3 3 4 2 ; 33434; (3464) 2 ]
[3 6 ; 33434; (3464) 2 ]

[3 6 ; (33434) 2 ; 3464]
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 3464]
[(3464) 2 ; 3446; 3636]
[3 4 6; (33434) 2 ; 3446]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434) 2 ]

[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434) 2 ]
[(3 3 4 2 ) 2 ; 33434; 4 4 ]
[(3 3 4 2 ) 2 ; 33434; 4 4 ]
[3464; (3446) 2 ; 4 4 ]
[33434; (334.12) 2 ; 343.12]

[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ]
[(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ]

[(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3636]
[3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636]
[3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636]
[(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 3636]
[(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 3636]

[3 6 ; 3 4 6; (3636) 2 ]
[3 2 6 2 ; (3636) 2 ; 6 3 ]
[3 2 6 2 ; (3636) 2 ; 6 3 ]
[(3 2 6 2 ) 2 ; 3636; 6 3 ]
[3 2 6 2 ; 3636; (6 3 ) 2 ]

[3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ]
[3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2 ]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2 ]
[3 4 6; (3 3 4 2 ) 2 ; 3636]

[3 4 6; (3 3 4 2 ) 2 ; 3636]
[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446) 2 ]
[3446; 3636; (4 4 ) 2 ]
[3446; 3636; (4 4 ) 2 ]
[3446; 3636; (4 4 ) 2 ]

[3446; 3636; (4 4 ) 2 ]
[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]
[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]
[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]
[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]

[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]
[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]
[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]
[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]
[3446; (3636) 2 ; 4 4 ]

[3446; (3636) 2 ; 4 4 ]
[3446; (3636) 2 ; 4 4 ]
[3446; (3636) 2 ; 4 4 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ]

[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ]

[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ]
[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]

4-однородные мозаики, 2 типа вершин (2:2) и (3:1)

Существует 33 с 2 типами вершин, 12 с двумя парами типов и 21 с соотношением типов 3:1.

4-однородные мозаики (2:2)

[(3464) 2 ; (46.12) 2 ]
[(33434) 2 ; (3464) 2 ]
[(33434) 2 ; (3464) 2 ]
[(3 4 6) 2 ; (3636) 2 ]
[(3 6 ) 2 ; (3 4 6) 2 ]

[(3 3 4 2 ) 2 ; (33434) 2 ]
[(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ]
[(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ]
[(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ]
[(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ]

[(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ]
[(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ]
4-однородные мозаики (3:1)

[343,12; (3,12 2 ) 3 ]
[(3 4 6) 3 ; 3636]
[3 6 ; (3 4 6) 3 ]
[(3 6 ) 3 ; 3 4 6]
[(3 6 ) 3 ; 3 4 6]

[(3 3 4 2 ) 3 ; 33434]
[3 3 4 2 ; (33434) 3 ]
[3446; (3636) 3 ]
[3446; (3636) 3 ]
[3 2 6 2 ; (3636) 3 ]

[3 2 6 2 ; (3636) 3 ]
[3 3 4 2 ; (4 4 ) 3 ]
[3 3 4 2 ; (4 4 ) 3 ]
[(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ]
[(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ]

[(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ]
[(3 6 ) 3 ; 3 3 4 2 ]

[(3 6 ) 3 ; 3 3 4 2 ]

5-однородные мозаики

Существует 332 5-однородных мозаики евклидовой плоскости. Поиск Брайана Гейлбаха выявил 332 5-однородных мозаики с 2–5 типами вершин. Существует 74 мозаики с 2 типами вершин, 149 с 3 типами вершин, 94 с 4 типами вершин и 15 с 5 типами вершин.

5-однородных мозаик, 5 типов вершин

Существует 15 5-однородных мозаик с 5 уникальными типами вершинных фигур.

5-однородных плиток, 5 типов

[33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 46.12]
[3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434; 3446; 4 4 ]
[3 6 ; 33434; 3464; 3446; 3636]

[3 6 ; 3 4 6; 3464; 3446; 3636]
[33434; 334,12; 3464;
3.12.12; 46.12]
[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]

[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 4 4 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446]

5-однородных мозаик, 4 типа вершин (2:1:1:1)

Существует 94 5-однородных мозаики с 4 типами вершин.

5-однородных мозаик (2:1:1:1)

[3 6 ; 33434; (3446)2; 46.12]
[3 6 ; 33434; 3446; (46.12)2]
[3 6 ; 33434; 3464; (46.12)2]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (334,12)2; 3464]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 334,12; 3464]

[3 6 ; 33434; (334,12)2; 3464]
[3 6 ; 33434; 334,12; (3.12.12)2]
[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 334.12]
[3 6 ; 33434; 343,12; (3.12.12)2]
[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 3.12.12]

[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 3.12.12]
[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 4 4 ]
[33434; 3 2 6 2 ; (3446)2; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]

[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3464)2; 3446]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3464; (3446)2]
[33434; 3 2 6 2 ; 3464; (3446)2]
[3 6 ; 33434; (3446)2; 3636]
[3 3 4 2 ; 33434; 3464; (3446)2]

[3 6 ; 33434; (3 2 6 2 )2; 3446]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; (3464)2; 3446]
[33434; 3 2 6 2 ; (3464)2; 3446]
[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3464)2; 3446]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 3464]

[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 3464]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2; 3464]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2; 3464]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12]

[3 6 ; 33434; (334,12)2; 343.12]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]

[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]
[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636)2]
[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]

[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]

[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]
[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]
[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]

[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]
[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]

[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]
[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )2]
[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 )2]

[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 )2]
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]

[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 )2]
[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 )2]
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]

[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 )2]
[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 )2]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3636; 4 4 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]

[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]

[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3446; 3636]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; (3636)2]
[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]

[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446]
[3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446]

[3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446]
[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636]

5-однородных мозаик, 3 типа вершин (3:1:1) и (2:2:1)

Существует 149 5-однородных мозаик, из которых 60 имеют копии 3:1:1, а 89 — копии 2:2:1.

5-однородных мозаик (3:1:1)

[3 6 ; 334.12; (46.12)3]
[3464; 3446; (46.12)3]
[3 6 ; (334.12)3; 46.12]
[334.12; 343.12; (3.12.12)3]
[3 6 ; (33434)3; 343.12]

[3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )3]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )3]
[3 6 ; (3 2 6 2 )3; 6 3 ]
[3 6 ; (3 2 6 2 )3; 6 3 ]
[3 2 6 2 ; (3636)3; 6 3 ]

[3446; 3636; (4 4 )3]
[3446; 3636; (4 4 )3]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]
[3446; (3636)3; 4 4 ]

[3446; (3636)3; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]

[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
[3446; 3636; (4 4 )3]
[3446; 3636; (4 4 )3]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]

[(3 3 4 2 )3; 3 2 6 2 ; 3446]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]

[3446; (3636)3; 4 4 ]
[3446; (3636)3; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]

[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]

[(3 3 4 2 )3; 3446; 3636]
[(3 3 4 2 )3; 3446; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )3; 3446]
[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]

[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[3 4 6; (3 2 6 2 )3; 3636]
[3 4 6; (3 2 6 2 )3; 3636]
[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]
[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]

[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]
[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]

[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]
[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]
[(3 6 )3; 3 4 6; 3636]
[(3 6 )3; 3 4 6; 3636]
[3 6 ; (3 4 6)3; 3636]
5-однородных мозаик (2:2:1)

[(3446)2; (3636)2; 46.12]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 3464]
[(3 3 4 2 )2; 334,12; (3464)2]
[3 6 ; (33434)2; (3464)2]
[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]

[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]
[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]
[(33434)2; 343.12; (3464)2]
[3 6 ; (3 2 6 2 )2; (6 3 )2]
[(3 2 6 2 )2; (3636)2; 6 3 ]

[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 33434]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (33434)2]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]

[(3 2 6 2 )2; 3636; (6 3 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[3446; (3636)2; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]

[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[3446; (3636)2; (4 4 )2]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]

[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]

[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[3446; (3636)2; (4 4 )2]

[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[3446; (3636)2; (4 4 )2]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]

[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]

[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]
[(33434)2; 3 2 6 2 ; (3446)2]
[3 3 4 2 ; (3 2 6 2 )2; (3446)2]

[3 3 4 2 ; (3 2 6 2 )2; (3446)2]
[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]
[(3 2 6 2 )2; 3446; (3636)2]
[(3 2 6 2 )2; 3446; (3636)2]
[(3464)2; (3446)2; 3636]

[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]
[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]
[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]
[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]
[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]

[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]
[(3 3 4 2 )2; (3446)2; 3636]
[(3 3 4 2 )2; (3446)2; 3636]
[(3 4 6)2; (3 3 4 2 )2; 3446]
[(3 4 6)2; 3 3 4 2 ; (3446)2]

[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]
[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]
[(3 6 )2; 3 4 6; (3 2 6 2 )2]
[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]
[3 6 ; (3 2 6 2 )2; (6 3 )2]

[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]
[3 4 6; (3 2 6 2 )2; (3636)2]
[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 3636]
[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]
[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; (3636)2]

[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 3636]
[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]
[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]
[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636]
[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636]

[3 6 ; (3 4 6)2; (3 3 4 2 )2]
[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]
[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]
[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (3636)2]

[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (3636)2]
[(3 6 )2; 3 4 6; (3636)2]
[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]

5-однородных мозаик, 2 типа вершин (4:1) и (3:2)

Существует 74 5-однородных мозаики с 2 типами вершин, 27 с 4:1 и 47 с 3:2 копиями каждой из них.

5-однородных мозаик (4:1)

[(3464)4; 46.12]
[343.12; (3.12.12)4]
[3 6 ; (33434)4]
[3 6 ; (33434)4]
[(3 6 )4; 3 4 6]

[(3 6 )4; 3 4 6]
[(3 6 )4; 3 4 6]
[3 6 ; (3 4 6)4]
[3 2 6 2 ; (3636)4]
[(3 4 6)4; 3 2 6 2 ]

[(3 4 6)4; 3 2 6 2 ]
[(3 4 6)4; 3636]
[3 2 6 2 ; (3636)4]
[3446; (3636)4]
[3446; (3636)4]

[(3 3 4 2 )4; 33434]
[3 3 4 2 ; (33434)4]

[3 3 4 2 ; (4 4 )4]
[3 3 4 2 ; (4 4 )4]
[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]
[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]
[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]

[3 6 ; (3 3 4 2 )4]
[3 6 ; (3 3 4 2 )4]
[3 6 ; (3 3 4 2 )4]
[(3 6 )4; 3 3 4 2 ]
[(3 6 )4; 3 3 4 2 ]

Существует 29 5-однородных мозаик с 3 и 2 уникальными типами вершинных фигур.

5-однородных мозаик (3:2)

[(3464)2; (46.12)3]
[(3464)2; (46.12)3]
[(3464)3; (3446)2]
[(33434)2; (3464)3]
[(33434)3; (3464)2]

[(3 6 )2; (3 4 6)3]
[(3 6 )2; (3 4 6)3]
[(3 6 )3; (3 4 6)2]
[(3 6 )3; (3 4 6)2]
[(3 6 )3; (3 4 6)2]

[(3 6 )3; (3 4 6)2]
[(3 6 )2; (3 4 6)3]
[(3 6 )2; (3 4 6)3]
[(3 6 )2; (3 4 6)3]

[(3 2 6 2 )2; (3636)3]
[(3 4 6)3; (3636)2]
[(3 4 6)3; (3636)2]
[(3 4 6)2; (3636)3]

[(3446)3; (3636)2]
[(3446)2; (3636)3]
[(3446)3; (3636)2]
[(3446)2; (3636)3]
[(3446)2; (3636)3]

[(3 3 4 2 )3; (33434)2]
[(3 3 4 2 )3; (33434)2]
[(3 3 4 2 )2; (33434)3]
[(3 3 4 2 )2; (33434)3]

[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]
[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]
[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]
[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]
[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]

[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]
[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]
[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]
[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]
[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]

[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]
[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]

[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]
[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]
[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]
[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]
[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]

Более высокие k-однородные мозаики

k -однородные мозаики были пронумерованы до 6. Существует 673 6-однородных мозаик евклидовой плоскости. Поиск Брайана Гейлбаха воспроизвел список Кротенхердта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными типами вершин, а также нашел 92 из них с 5 типами вершин, 187 из них с 4 типами вершин, 284 из них с 3 типами вершин и 100 с 2 типами вершин.

Ссылки

  1. ^ k-однородные мозаики правильными многоугольниками Архивировано 30.06.2015 на Wayback Machine Нильс Леннгрен, 2009
  2. ^ "n-однородные мозаики". probabilitysports.com . Получено 21.06.2019 .
  3. ^ Кричлоу, стр. 60-61
  4. ^ Кричлоу, стр. 62-67
  5. ^ Tilings and Patterns, Грюнбаум и Шепард 1986, стр. 65-67
  6. ^ "In Search of Demiregular Tilings" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-05-07 . Получено 2015-06-04 .
  • Грюнбаум, Бранко; Шепард, Джеффри К. (1977). «Tilings by regular polygons». Math. Mag . 50 (5): 227–247. doi :10.2307/2689529. JSTOR  2689529.
  • Грюнбаум, Бранко; Шепард, GC (1978). «Девяносто один тип изогональных мозаик на плоскости». Trans. Am. Math. Soc . 252 : 335–353. doi : 10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3 . MR  0496813.
  • Деброй, И.; Ландуит, Ф. (1981). «Эквитранзитивные реберные мозаики». Геометрии посвященные . 11 (1): 47–60. дои : 10.1007/BF00183189. S2CID  122636363.
  • Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Tilings and Patterns . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.
  • Рен, Динг; Рей, Джон Р. (1987). «Характеристика границы и теорема Пика в архимедовых плоских мозаиках». Журнал комбинаторной теории . Серия A. 44 (1): 110–119. doi :10.1016/0097-3165(87)90063-X.
  • Чави, Д. (1989). «Мозаики правильными многоугольниками — II: Каталог мозаик». Компьютеры и математика с приложениями . 17 : 147–165. doi :10.1016/0898-1221(89)90156-9.
  • Порядок в пространстве: Справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, 1970 ISBN 978-0-670-52830-1 
  • Соммервилл, Дункан Макларен Янг (1958). Введение в геометрию n измерений . Dover Publications.Глава X: Правильные многогранники
  • Преа, П. (1997). «Последовательности расстояний и пороги перколяции в архимедовых мозаиках». Mathl. Comput. Modelling . 26 (8–10): 317–320. doi :10.1016/S0895-7177(97)00216-1.
  • Кович, Юрий (2011). «Графы типа симметрии платоновых и архимедовых тел». Math. Commun . 16 (2): 491–507.
  • Пеллисер, Дэниел; Уильямс, Гордон (2012). «Минимальные покрытия архимедовых мозаик, часть 1». Электронный журнал комбинаторики . 19 (3): #P6. doi : 10.37236/2512 .
  • Дейл Сеймур и Джилл Бриттон , Введение в тесселяцию , 1989, ISBN 978-0866514613 , стр. 50–57 

Ссылки на евклидовы и общие мозаики:

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Список_k-uniform_tilings&oldid=1252957293"