Теорема Юнга

В геометрии теорема Юнга — это неравенство между диаметром множества точек в любом евклидовом пространстве и радиусом минимального охватывающего шара этого множества. Она названа в честь Генриха Юнга , который впервые изучил это неравенство в 1901 году. Существуют также алгоритмы для явного решения задачи о наименьшем круге .

Рассмотрим компактный набор

${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$

и пусть

${\displaystyle d=\max _{p,q\,\in \,K}\|pq\|_{2}}$

быть диаметром K , то есть наибольшим евклидовым расстоянием между любыми двумя его точками. Теорема Юнга утверждает , что существует замкнутый шар с радиусом

${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}$

содержащий K. Граничный случай равенства достигается правильным n - симплексом .

Наиболее распространенный случай теоремы Юнга — это случай на плоскости , то есть когда n  = 2. В этом случае теорема утверждает, что существует окружность , охватывающая все точки, радиус которых удовлетворяет условию

${\displaystyle r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},}$

и эта граница является максимально точной, поскольку когда K — равносторонний треугольник (или его три вершины), то имеем${\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Для любого ограниченного множества в любом метрическом пространстве , . Первое неравенство следует из неравенства треугольника для центра шара и двух диаметральных точек, а второе неравенство следует из того, что шар радиуса с центром в любой точке будет содержать все . Оба эти неравенства строгие:${\displaystyle S}$${\displaystyle d/2\leq r\leq d}$${\displaystyle д}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• В равномерном метрическом пространстве , то есть пространстве, в котором все расстояния равны, .${\displaystyle r=d}$
• На другом конце спектра, в инъективном метрическом пространстве , таком как манхэттенское расстояние на плоскости, : любые два замкнутых шара радиуса с центрами в точках имеют непустое пересечение , поэтому все такие шары имеют общее пересечение, а шар радиуса с центром в точке этого пересечения содержит все из .${\displaystyle r=d/2}$${\displaystyle d/2}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d/2}$${\displaystyle S}$

Известны также версии теоремы Юнга для различных неевклидовых геометрий (см., например, Dekster 1995, 1997).

• Кац, М. (1985). «Теорема Юнга в комплексной проективной геометрии». Quart. J. Math. Oxford . 36 (4): 451–466. doi :10.1093/qmath/36.4.451.
• Декстер, Б. В. (1995). «Теорема Юнга для сферических и гиперболических пространств». Acta Mathematica Hungarica . 67 (4): 315–331. doi :10.1007/BF01874495.
• Декстер, Б. В. (1997). «Теорема Юнга в метрических пространствах кривизны, ограниченной сверху». Труды Американского математического общества . 125 (8): 2425–2433. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03842-2 .
• Юнг, Генрих (1901). «Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt». Дж. Рейн Анжью. Математика. (на немецком языке). 123 : 241–257.
• Юнг, Генрих (1910). «Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt». Дж. Рейн Анжью. Математика. (на немецком языке). 137 : 310–313.
• Радемахер, Ганс; Теплиц, Отто (1990). Удовольствие от математики . Дувр. Глава 16. ISBN 978-0-486-26242-0.

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Юнга». Математический мир .