преобразование Жуковского

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (May 2017) (Learn how and when to remove this message)

В прикладной математике преобразование Жуковского ( иногда транслитерируется как Жуковский , Жуковский или Жуковский ) — это конформное отображение, исторически используемое для понимания некоторых принципов проектирования аэродинамического профиля . Оно названо в честь Николая Жуковского , который опубликовал его в 1910 году. ^[1]

Преобразование - это

${\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},}$

где — комплексная переменная в новом пространстве, а — комплексная переменная в исходном пространстве.${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }$

В аэродинамике преобразование используется для решения двумерного потенциального потока вокруг класса аэродинамических профилей, известных как аэродинамические профили Жуковского. Аэродинамический профиль Жуковского создается в комплексной плоскости ( -плоскости) путем применения преобразования Жуковского к окружности в -плоскости. Координаты центра окружности являются переменными, и их изменение изменяет форму результирующего аэродинамического профиля. Окружность охватывает точку (где производная равна нулю) и пересекает точку Этого можно добиться для любого допустимого положения центра, изменяя радиус окружности.${\displaystyle z}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \zeta =-1}$${\displaystyle \zeta =1.}$${\displaystyle \mu _{x}+i\mu _{y}}$

Аэродинамические профили Жуковского имеют острие на задней кромке . Тесно связанное конформное отображение, преобразование Кармана–Треффца , генерирует более широкий класс аэродинамических профилей Кармана–Треффца, управляя углом задней кромки. Когда задан нулевой угол задней кромки, преобразование Кармана–Треффца сводится к преобразованию Жуковского.

Преобразование Жуковского любого комплексного числа выглядит следующим образом:${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt]&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Итак, действительные ( ) и мнимые ( ) компоненты таковы:${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right),\\[2pt]y&=\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Преобразование всех комплексных чисел на единичной окружности является частным случаем.

$${\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,}$$

что дает

$${\displaystyle \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}$$

Таким образом, действительная составляющая становится равной , а мнимая составляющая становится равной .${\textstyle x=\chi (1+1)=2\chi }$${\textstyle y=\eta (1-1)=0}$

Таким образом, комплексная единичная окружность отображается в плоскую пластину на действительной числовой прямой от −2 до +2.

Преобразования других окружностей создают широкий спектр форм аэродинамических профилей.

Решение потенциального потока вокруг кругового цилиндра аналитическое и хорошо известно. Это суперпозиция равномерного потока , дублета и вихря .

Комплексно-сопряженная скорость по окружности в плоскости равна${\displaystyle {\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},}$${\displaystyle \zeta }$$${\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}$$

где

• ${\displaystyle \mu =\mu _{x}+i\mu _{y}}$- комплексная координата центра окружности,
• ${\displaystyle V_{\infty }}$- скорость свободного потока жидкости,

${\displaystyle \alpha }$- угол атаки аэродинамического профиля по отношению к набегающему потоку,

• ${\displaystyle R}$радиус окружности, рассчитанный с помощью ,${\textstyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \Gamma }$есть циркуляция , найденная с использованием условия Кутта , которая в данном случае сводится к$${\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).}$$

Комплексная скорость вокруг профиля в -плоскости, согласно правилам конформного отображения и с использованием преобразования Жуковского, равна${\displaystyle W}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.}$$

Здесь с и компоненты скорости в направлениях и соответственно ( с и действительные значения). Из этой скорости можно рассчитать другие интересующие свойства потока, такие как коэффициент давления и подъемная сила на единицу пролета.${\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}$${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle u_{y}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z=x+iy,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Преобразование Кармана–Треффца — это конформное отображение, тесно связанное с преобразованием Жуковского. В то время как аэродинамический профиль Жуковского имеет заостренную заднюю кромку, аэродинамический профиль Кармана–Треффца , который является результатом преобразования окружности в -плоскости в физическую -плоскость, аналогично определению аэродинамического профиля Жуковского, имеет ненулевой угол на задней кромке между верхней и нижней поверхностью аэродинамического профиля. Поэтому преобразование Кармана–Треффца требует дополнительного параметра: угла задней кромки Это преобразование ^{[2] [3]}${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \alpha .}$

${\displaystyle z=nb{\frac {(\zeta +b)^{n}+(\zeta -b)^{n}}{(\zeta +b)^{n}-(\zeta -b)^{n}}},}$

А

где — действительная константа, определяющая положения, где , и немного меньше 2. Угол между касательными верхней и нижней поверхностей аэродинамического профиля на задней кромке связан с соотношением ^[2]${\displaystyle b}$${\displaystyle dz/d\zeta =0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}$

Производная , необходимая для вычисления поля скорости, равна${\displaystyle dz/d\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.}$

Сначала прибавим и вычтем 2 из преобразования Жуковского, как указано выше:

${\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\[3pt]z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}}$

Разделив левую и правую части, получаем

${\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}$

Правая часть содержит (как множитель) простой закон второй степени из теории потенциального потока , примененный на заднем крае вблизи Из теории конформного отображения известно, что это квадратичное отображение изменяет полуплоскость в -пространстве в потенциальный поток вокруг полубесконечной прямой линии. Кроме того, значения степени меньше 2 приведут к потоку вокруг конечного угла. Таким образом, изменяя степень в преобразовании Жуковского до значения немного меньше 2, результатом будет конечный угол вместо точки возврата. Замена 2 на в предыдущем уравнении дает ^[2]${\displaystyle \zeta =+1.}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},}$

что является преобразованием Кармана–Треффца. Решение дает его в виде уравнения A.${\displaystyle z}$

В 1943 году Сюэ-шэнь Цзянь опубликовал преобразование окружности радиуса в симметричный аэродинамический профиль, зависящее от параметра и угла наклона : ^[4]${\displaystyle a}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).}$

Параметр дает плоскую пластину при нуле и круг при бесконечности; таким образом, он соответствует толщине аэродинамического профиля. Кроме того, радиус цилиндра .${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle a=1+\epsilon }$

• Апплет NASA «Трансформация Жуковского»
• Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform