Тройное произведение Якоби

Эта статья включает список ссылок , связанных чтений или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Май 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике тройное произведение Якоби — это тождество:

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty}\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}x^{n^{2}}y^{2n},}$

для комплексных чисел x и y , при этом | x | < 1 и y ≠ 0. Он был введен Якоби  (1829) в его работе Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum .

Тождество тройного произведения Якоби является тождеством Макдональда для аффинной системы корней типа A ₁ и представляет собой формулу знаменателя Вейля для соответствующей аффинной алгебры Каца–Муди .

Доказательство Якоби основано на теореме Эйлера о пятиугольных числах , которая сама по себе является частным случаем тождества тройного произведения Якоби.

Пусть и . Тогда имеем${\displaystyle x=q{\sqrt {q}}}$${\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}$

Далее следуют тождества Роджерса –Рамануджана с , и , .${\displaystyle x=q^{2}{\sqrt {q}}}$${\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}$${\displaystyle x=q^{2}{\sqrt {q}}}$${\displaystyle y^{2}=-q{\sqrt {q}}}$

Тройное произведение Якоби также позволяет записать тета-функцию Якоби в виде бесконечного произведения следующим образом:

Пусть и${\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}$${\displaystyle y=e^{i\pi z}.}$

Тогда тета-функция Якоби

${\displaystyle \vartheta (z;\tau)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}}$

можно записать в виде

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}}.}$

Используя тождество тройного произведения Якоби, тета-функцию можно записать в виде произведения

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].}$

Существует много различных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Оно приобретает краткую форму, если выражается через q- символы Похгаммера :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}$

где - бесконечный q- символ Похгаммера.${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$

Он имеет особенно элегантную форму, когда выражается в терминах тета-функции Рамануджана . Поскольку он может быть записан как${\displaystyle |ab|<1}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}$

Позволять${\displaystyle f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{-2}\right)}$

Подставляя xy вместо y и умножая новые члены, получаем

${\displaystyle f_{x}(xy)={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^{2}}}f_{x}(y)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)}$

Так как является мероморфным для , то он имеет ряд Лорана${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle |y|>0}$

${\displaystyle f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)y^{2n}}$

который удовлетворяет

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}}$

так что

${\displaystyle c_{n+1}(x)=c_{n}(x)x^{2n+1}=\dots =c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}}$

и, следовательно,

${\displaystyle f_{x}(y)=c_{0}(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}}$

Показ того, что ( многочлен x равен 1 ) является техническим. Один из способов — установить и показать как числитель, так и знаменатель${\displaystyle c_{0}(x)=1}$${\displaystyle y^{0}}$${\displaystyle y=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}(e^{2i\pi z})}}={\frac {\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }e^{2i\pi n^{2}z}}{\prod \limits _{m=1}^{\infty }(1-e^{2i\pi mz})(1+e^{2i\pi (2m-1)z})^{2}}}}$

имеют вес 1/2, модульный относительно , ​​поскольку они также являются 1-периодическими и ограниченными в верхней полуплоскости, частное должно быть постоянным, так что .${\displaystyle z\mapsto -{\frac {1}{4z}}}$${\displaystyle c_{0}(x)=c_{0}(0)=1}$

Другое доказательство дано GE Andrews, основанное на двух тождествах Эйлера. ^[1]

Для аналитического случая см. Апостол. ^[2]

• Питер Дж. Кэмерон, Комбинаторика: темы, методы, алгоритмы, (1994) Cambridge University Press , ISBN 0-521-45761-0 
• Якоби, CGJ (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни), Кенигсберг: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Перепечатано издательством Кембриджского университета в 2012 г.
• Карлиц , Л. ( 1962 ), «Заметка о тета-формуле Якоби», Бюллетень Американского математического общества , т. 68, № 6, Американское математическое общество , стр.  591–592
• Райт, Э. М. (1965), «Перечислительное доказательство тождества Якоби», Журнал Лондонского математического общества , Лондонское математическое общество : 55–57 , doi :10.1112/jlms/s1-40.1.55