алгебра Лейбница
В математике (правая) алгебра Лейбница , названная в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , иногда называемая алгеброй Лодея , в честь Жана-Луи Лодея , — это модуль L над коммутативным кольцом R с билинейным произведением [_, _], удовлетворяющим тождеству Лейбница .
![{\displaystyle [[a,b],c]=[a,[b,c]]+[[a,c],b].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd08048239d488970159d6c46f1126044ba63cd)
Другими словами, правое умножение на любой элемент c является деривацией . Если вдобавок скобка является знакопеременной ([ a , a ] = 0), то алгебра Лейбница является алгеброй Ли . Действительно, в этом случае [ a , b ] = −[ b , a ] и тождество Лейбница эквивалентно тождеству Якоби ([ a , [ b , c ]] + [ c , [ a , b ]] + [ b , [ c , a ]] = 0). Обратно, любая алгебра Ли, очевидно, является алгеброй Лейбница.
В этом смысле алгебры Лейбница можно рассматривать как некоммутативное обобщение алгебр Ли. Исследование того, какие теоремы и свойства алгебр Ли остаются справедливыми для алгебр Лейбница, является повторяющейся темой в литературе. [1] Например, было показано, что теорема Энгеля остается справедливой для алгебр Лейбница [2] [3] и что также справедлива более слабая версия теоремы Леви–Мальцева . [4]
Модуль тензора T ( V ) любого векторного пространства V можно превратить в алгебру Лодея, такую что
![{\displaystyle [a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n},x]=a_{1}\otimes \cdots a_{n}\otimes x\quad {\text{for }}a_{1},\ldots ,a_{n},x\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5b2b67152da5c8c6e2e3c0c7a1708f18126927)
Это свободная алгебра Лодея над V.
Алгебры Лейбница были открыты в 1965 году А. Блохом, который назвал их D-алгебрами. Они привлекли внимание после того, как Жан-Луи Лодей заметил, что классическое граничное отображение Шевалле–Эйленберга во внешнем модуле алгебры Ли может быть поднято до тензорного модуля, что дает новый цепной комплекс. Фактически, этот комплекс хорошо определен для любой алгебры Лейбница. Гомологии HL ( L ) этого цепного комплекса известны как гомологии Лейбница. Если L — алгебра Ли (бесконечных) матриц над ассоциативной R -алгеброй A , то гомологии Лейбница L являются тензорной алгеброй над гомологиями Хохшильда A .
Алгебра Зинбиля — это дуальное понятие Кошуля к алгебре Лейбница. Она имеет в качестве определяющего тождества:
Примечания
- ^ Барнс, Дональд У. (июль 2011 г.). «Некоторые теоремы об алгебрах Лейбница». Сообщения по алгебре . 39 (7): 2463–2472. doi :10.1080/00927872.2010.489529.
- ^ Patsourakos, Alexandros (26 ноября 2007 г.). «О нильпотентных свойствах алгебр Лейбница». Communications in Algebra . 35 (12): 3828–3834. doi :10.1080/00927870701509099.
- ^ Ш. А. Аюпов; Б.А. Омиров (1998). «Об алгебрах Лейбница». В Хакимджанове Ю.; Гозе, М.; Аюпов, Ш. (ред.). Алгебра и теория операторов. Материалы коллоквиума в Ташкенте, 1997 . Дордрехт: Спрингер. стр. 1–13. ISBN 9789401150729.
- ^ Барнс, Дональд В. (30 ноября 2011 г.). «О теореме Леви для алгебр Лейбница». Бюллетень Австралийского математического общества . 86 (2): 184–185. arXiv : 1109.1060 . doi : 10.1017/s0004972711002954.
Ссылки
- Косманн-Шварцбах, Иветт (1996). «От алгебр Пуассона к алгебрам Герстенхабера». Анналы Института Фурье . 46 (5): 1243–1274. дои : 10.5802/aif.1547 .
- Лоде, Жан-Луи (1993). «Некоммутативная версия алгебр Лия: алгебры Лейбница» (PDF) . Энсен. Математика . Серия 2. 39 (3–4): 269–293.
- Лоде, Жан-Луи и Теймураз, Пирашвили (1993). «Универсальные обертывающие алгебры алгебр Лейбница и (ко) гомологии». Математические Аннален . 296 (1): 139–158. CiteSeerX 10.1.1.298.1142 . дои : 10.1007/BF01445099. S2CID 16865683.
- Блох, А. (1965). «Об одном обобщении понятия алгебры Ли». Докл. АН СССР . 165 : 471–3.
- Блох, А. (1967). «Теория гомологии Картана-Эйленберга для обобщенного класса алгебр Ли». Докл. АН СССР . 175 (8): 824–6.
- Джумадильдаев А.С.; Туленбаев, К.М. (2005). «Нильпотентность алгебр Цинбиля». Дж. Дин. Система управления . 11 (2): 195–213. doi : 10.1007/s10883-005-4170-1. S2CID 121944962.
- Гинзбург, В. ; Капранов, М. (1994). «Двойственность Кошуля для операд». Герцог Мат. Дж . 76 : 203–273. arXiv : 0709.1228 . дои : 10.1215/s0012-7094-94-07608-4. S2CID 115166937.
