Изопериметрическая точка

В геометрии изопериметрическая точка — это центр треугольника — особая точка, связанная с плоским треугольником . Термин был первоначально введен GR Veldkamp в статье, опубликованной в American Mathematical Monthly в 1985 году для обозначения точки P на плоскости треугольника △ ABC, обладающей тем свойством, что треугольники △ PBC , △ PCA , △ PAB имеют изопериметры, то есть обладающей тем свойством, что ^{[1] [2]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {PB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CP}},\\=\ &{\overline {PC}}+{\overline {CA}}+{\overline {AP}},\\=\ &{\overline {PA}}+{\overline {AB}}+{\overline {BP}}.\end{aligned}}}$$

Изопериметрические точки в смысле Велдкампа существуют только для треугольников, удовлетворяющих определенным условиям. Изопериметрическая точка △ ABC в смысле Велдкампа, если она существует, имеет следующие трилинейные координаты . ^[3]

$${\displaystyle \sec {\tfrac {A}{2}}\cos {\tfrac {B}{2}}\cos {\tfrac {C}{2}}-1\ :\ \sec {\tfrac {B}{2}}\cos {\tfrac {C}{2}}\cos {\tfrac {A}{2}}-1\ :\ \sec {\tfrac {C}{2}}\cos {\tfrac {A}{2}}\cos {\tfrac {B}{2}}-1}$$

Для любого треугольника △ ABC можно связать с ним точку P, имеющую трилинейные координаты, как указано выше. Эта точка является центром треугольника , и в Энциклопедии центров треугольников Кларка Кимберлинга ( ETC) она называется изопериметрической точкой треугольника △ ABC . Она обозначается как центр треугольника X (175). ^[4] Точка X (175) не обязательно должна быть изопериметрической точкой треугольника △ ABC в смысле Вельдкампа. Однако, если изопериметрическая точка треугольника △ ABC в смысле Вельдкампа существует, то она будет идентична точке X (175).

Точка P со свойством, что треугольники △ PBC , △ PCA , △ PAB имеют равные периметры, была изучена еще в 1890 году в статье Эмиля Лемуана . ^{[4] [5]}

Пусть △ ABC — любой треугольник. Пусть длины сторон этого треугольника будут a, b, c . Пусть радиус описанной окружности будет R , а вписанной — r . Необходимое и достаточное условие существования изопериметрической точки в смысле Велдкампа можно сформулировать следующим образом. ^[1]

Треугольник △ ABC имеет изопериметрическую точку в смысле Велдкампа тогда и только тогда, когда$${\displaystyle a+b+c>4R+r.}$$

Для всех остроугольных треугольников △ ABC имеем a + b + c > 4 R + r , и поэтому все остроугольные треугольники имеют изопериметрические точки в смысле Вельдкампа.

Пусть P обозначает центр треугольника X (175) треугольника △ ABC . ^[4]

• Точка P лежит на линии, соединяющей инцентр и точку Жергонна треугольника △ ABC .
• Если P — изопериметрическая точка треугольника △ ABC в смысле Вельдкампа, то вневписанные окружности треугольников △ PBC , △ PCA , △ PAB попарно касаются друг друга, а P — их радикальный центр.
• Если P является изопериметрической точкой △ ABC в смысле Велдкампа, то периметры △ PBC , △ PCA , △ PAB равны

$${\displaystyle {\frac {2\triangle }{{\bigl |}4R+r-(a+b+c){\bigr |}}}}$$где △ — площадь, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности, а a, b, c — длины сторон △ ABC . ^[6]

Если задан треугольник △ ABC, можно нарисовать окружности в плоскости △ ABC с центрами в точках A, B, C так, чтобы они касались друг друга внешним образом. В общем случае можно нарисовать две новые окружности так, чтобы каждая из них касалась трех окружностей с центрами в точках A, B, C. (Одна из окружностей может вырождаться в прямую линию.) Эти окружности являются окружностями Содди треугольника △ ABC . Окружность с меньшим радиусом является внутренней окружностью Содди , а ее центр называется внутренней точкой Содди или внутренним центром Содди треугольника △ ABC . Окружность с большим радиусом является внешней окружностью Содди , а ее центр называется внешней точкой Содди или внешним центром Содди треугольника △ ABC . ^{[6] [7]}

Центр треугольника X (175), изопериметрическая точка в смысле Кимберлинга, является внешней точкой Содди △ ABC .

• изопериметрические и равные точки обхода - интерактивная иллюстрация на Geogebratube