Изоупругая функция

В математической экономике изоупругая функция , иногда функция постоянной эластичности , — это функция, которая проявляет постоянную эластичность , т. е. имеет постоянный коэффициент эластичности . Эластичность — это отношение процентного изменения зависимой переменной к процентному причинному изменению независимой переменной в пределе, когда изменения по величине приближаются к нулю.

Для коэффициента эластичности (который может принимать любое действительное значение) общая форма функции имеет вид${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(x)={kx^{r}},}$

где и являются константами. Эластичность по определению${\displaystyle к}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\text{эластичность}}={\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}={\frac {d{\text{ln}}f(x)}{d{\text{ln}}x}},}$

что для этой функции просто равно r .

Эластичность спроса обозначается как

${\displaystyle {r}={\frac {dQ}{dP}}{\frac {P}{Q}}}$,

где r — эластичность, Q — количество, а P — цена.

Перестановка дает нам:

${\displaystyle {\frac {r}{P}}{dP}={\frac {1}{Q}}{dQ}}$

Затем интегрируем

${\displaystyle \int {\frac {r}{P}}{dP}=\int {\frac {1}{Q}}{dQ}}$

${\displaystyle r\ln(P)+C=\ln(Q)}$

Упрощать

${\displaystyle e^{\ln(P)r+C}=e^{ln(Q)}}$

${\displaystyle (e^{\ln(P)})^{r}e^{C}=Q}$

${\displaystyle kP^{r}=Q}$

${\displaystyle Q(P)=kP^{r}}$

Примером в микроэкономике является функция спроса с постоянной эластичностью , в которой p — цена продукта, а D ( p ) — результирующее количество, требуемое потребителями. Для большинства товаров эластичность r (чувствительность количества, требуемого по цене) отрицательна, поэтому может быть удобно записать функцию спроса с постоянной эластичностью с отрицательным знаком в показателе степени, чтобы коэффициент принял положительное значение:${\displaystyle r}$

${\displaystyle D(p)={kp^{-r}},}$

где теперь интерпретируется как беззнаковая величина реагирования. ^[1] Аналогичная функция существует для кривой предложения .${\displaystyle r>0}$

Функция постоянной эластичности также используется в теории выбора при неприятиях риска , которая обычно предполагает, что лица, принимающие решения, не склонные к риску, максимизируют ожидаемое значение вогнутой функции полезности фон Неймана-Моргенштерна . В этом контексте, при постоянной эластичности полезности относительно, скажем, богатства, оптимальные решения относительно таких вещей, как доли акций в портфеле, не зависят от масштаба богатства лица, принимающего решения. Функция постоянной эластичности полезности в этом контексте обычно записывается как

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{1-\gamma }}x^{1-\gamma }}$

где x — богатство, а — эластичность, причем , ≠ 1 называется постоянным коэффициентом относительного неприятия риска (при этом нежелание риска стремится к бесконечности при → ∞).${\displaystyle 1-\гамма}$${\displaystyle \гамма >0}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \гамма}$

• Постоянная эластичность замещения
• Функция мощности

• Кривые спроса и предложения с постоянной эластичностью