Мера иррациональности

В математике мера иррациональности действительного числа — это мера того, насколько «близко» оно может быть приближено рациональными числами .${\displaystyle x}$

Если функция , определенная для , принимает положительные действительные значения и строго убывает по обеим переменным, рассмотрим следующее неравенство :${\displaystyle f(t,\лямбда)}$${\displaystyle t,\лямбда >0}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<f(q,\lambda )}$

для заданного действительного числа и рациональных чисел с . Определим как множество всех , для которых существует только конечное число , такое , что неравенство выполняется. Тогда называется мерой иррациональности относительно Если такой нет и множество пусто , говорят, что имеет бесконечную меру иррациональности .${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle \лямбда (x)=\inf R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ф.}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda (x)=\infty }$

Следовательно, неравенство

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<f(q,\lambda (x)+\varepsilon )}$

имеет максимум только конечное число решений для всех . ^[1]${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

Показатель иррациональности или мера иррациональности Лиувилля–Рота задается установкой , ^[1] определение, адаптирующее определение чисел Лиувилля — показатель иррациональности определяется для действительных чисел как супремум множества таких, что удовлетворяет бесконечное число пар взаимно простых целых чисел с . ^{[2] [3] : 246}${\displaystyle f(q,\mu )=q^{-\mu }}$${\displaystyle \мю (х)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$${\displaystyle (п,д)}$${\displaystyle д>0}$

Для любого значения бесконечное множество всех рациональных чисел, удовлетворяющих указанному выше неравенству, дает хорошие приближения для . Наоборот, если , то существует не более конечного числа взаимно простых с , удовлетворяющих неравенству.${\displaystyle n<\mu (x)}$${\displaystyle п/д}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n>\мю (x)}$${\displaystyle (п,д)}$${\displaystyle д>0}$

Например, всякий раз, когда рациональное приближение с дает точные десятичные цифры, то${\displaystyle {\frac {p}{q}}\approx x}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}\geq \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{q^{\mu (x)+\varepsilon }}}}$

для любого , за исключением не более конечного числа «счастливых» пар .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle (п,д)}$

Число с показателем иррациональности называется диофантовым числом , ^[4] а числа с называются числами Лиувилля .${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu (x)\leq 2}$${\displaystyle \mu (x)=\infty }$

Рациональные числа имеют показатель иррациональности 1, в то время как (как следствие теоремы Дирихле об аппроксимации ) каждое иррациональное число имеет показатель иррациональности не менее 2.

С другой стороны, применение леммы Бореля-Кантелли показывает, что почти все числа, включая все алгебраические иррациональные числа , имеют показатель иррациональности, в точности равный 2. ^{[3] : 246}

Это для действительных чисел и рациональных чисел и . Если для некоторых имеем , то следует . ^{[5] : 368}${\displaystyle \mu (x)=\mu (rx+s)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r\neq 0}$${\displaystyle с}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x)\leq \mu }$${\displaystyle \mu (x^{1/2})\leq 2\mu }$

Для действительного числа, заданного его разложением в простую цепную дробь с подходящими дробями, справедливо: ^[1]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$

${\displaystyle \mu (x)=1+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.}$

Если у нас есть и для некоторых положительных действительных чисел , то мы можем установить верхнюю границу для показателя иррациональности по формуле: ^{[6] [7]}${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}|}\leq \sigma }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}x-p_{n}|}=-\tau }$${\displaystyle \сигма ,\тау }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mu (x)\leq 1+{\frac {\sigma }{\tau }}}$

Для большинства трансцендентных чисел точное значение показателя их иррациональности неизвестно. ^[5] Ниже приведена таблица известных верхних и нижних границ.

Число${\displaystyle x}$	Показатель иррациональности${\displaystyle \мю (х)}$		Примечания
	Нижняя граница	Верхняя граница
Рациональное число с${\displaystyle п/д}$${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ^{+}}$	1		Каждое рациональное число имеет показатель иррациональности, равный ровно 1.${\displaystyle п/д}$
Иррациональное алгебраическое число ${\displaystyle \альфа}$	2		По теореме Рота показатель иррациональности любого иррационального алгебраического числа равен ровно 2. Примерами служат квадратные корни и золотое сечение .${\displaystyle \varphi}$
${\displaystyle е^{2/k},k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2		Если элементы разложения иррационального числа в простую цепную дробь ограничены сверху произвольным многочленом , то его показатель иррациональности равен .${\displaystyle а_{н}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{n}<P(n)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \мю (х)=2}$ Примерами служат числа, непрерывные дроби которых ведут себя предсказуемо, например: ${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...]}$ и .${\displaystyle I_{0}(2)/I_{1}(2)=[1;2,3,4,5,6,7,8,9,10,...]}$
${\displaystyle \tan(1/k),k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2
${\displaystyle \tanh(1/k),k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2
${\displaystyle S(b)}$с${\displaystyle b\geq 2}$	2		${\displaystyle S(b):=\sum _{k=0}^{\infty }b^{-2^{k}}}$с , имеет члены непрерывной дроби, которые не превышают фиксированную константу. [8] [9]${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle T(b)}$с [10]${\displaystyle b\geq 2}$	2		${\displaystyle T(b):=\sum _{k=0}^{\infty }t_{k}b^{-k}}$где — последовательность Туэ–Морса и . См. константу Пруэ-Туэ-Морса .${\displaystyle t_{k}}$${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \ln(2)}$[11] [12]	2	3,57455...	Существуют и другие числа вида , для которых известны границы их показателей иррациональности. [13] [14] [15]${\displaystyle \ln(a/b)}$
${\displaystyle \ln(3)}$[11] [16]	2	5.11620...
${\displaystyle 5\ln(3/2)}$[17]	2	3.43506...	Существует много других чисел вида , для которых известны границы их показателей иррациональности. [17] Это касается .${\displaystyle {\sqrt {2k+1}}\ln \left({\frac {{\sqrt {2k+1}}+1}{{\sqrt {2k+1}}-1}}\right)}$${\displaystyle k=12}$
${\displaystyle \pi /{\sqrt {3}}}$[18] [19]	2	4.60105...	Существует много других чисел вида , для которых известны границы их показателей иррациональности. [18] Это касается .${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}\arctan \left({\frac {\sqrt {2k-1}}{k-1}}\right)}$${\displaystyle k=2}$
${\displaystyle \pi }$[11] [20]	2	7.10320...	Было доказано, что если ряд Флинт-Хиллза (где n выражено в радианах) сходится, то показатель иррациональности не превышает [21] [22] , а если он расходится, то показатель иррациональности не менее . [23]${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\csc ^{2}n}{n^{3}}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 5/2}$${\displaystyle 5/2}$
${\displaystyle \pi ^{2}}$[11] [24]	2	5.09541...	${\displaystyle \pi ^{2}}$и линейно зависимы по .${\displaystyle \zeta (2)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \arctan(1/2)}$[25]	2	9.27204...	Существует много других чисел такого вида , для которых известны границы их показателей иррациональности. [26] [27]${\displaystyle \arctan(1/k)}$
${\displaystyle \arctan(1/3)}$[28]	2	5.94202...
Постоянная Апери [11]${\displaystyle \zeta (3)}$	2	5.51389...
${\displaystyle \Gamma (1/4)}$[29]	2	10 330
Константа Каэна [30]${\displaystyle C}$	3
Константы Чамперноуна в базе [31]${\displaystyle C_{b}}$${\displaystyle b\geq 2}$	${\displaystyle b}$		Примеры включают в себя${\displaystyle C_{10}=0.1234567891011...=[0;8,9,1,149083,1,...]}$
Числа Лиувилля${\displaystyle L}$	${\displaystyle \infty }$		Числа Лиувилля — это именно те числа, которые имеют бесконечный показатель иррациональности. [3] : 248

База иррациональности или мера иррациональности Сондова получается путем установки . ^{[1] [6]} Это более слабая мера иррациональности, способная различать, насколько хорошо могут быть аппроксимированы различные числа Лиувилля, но дающая для всех других действительных чисел:${\displaystyle f(q,\beta )=\beta ^{-q}}$${\displaystyle \beta (x)=1}$

Пусть будет иррациональным числом. Если существуют действительные числа со свойством , что для любого существует положительное целое число такое, что${\displaystyle x}$${\displaystyle \beta \geq 1}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle q(\varepsilon )}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{(\beta +\varepsilon )^{q}}}}$

для всех целых чисел с то наименьшее из них называется основанием иррациональности и представляется как .${\displaystyle p,q}$${\displaystyle q\geq q(\varepsilon )}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \beta (x)}$

Если такого числа не существует, то оно называется суперчислом Лиувилля .${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta (x)=\infty }$${\displaystyle x}$

Если действительное число задано его разложением в простую цепную дробь с подходящими дробями, то выполняется следующее соотношение:${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$

${\displaystyle \beta (x)=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{q_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{q_{n}}}}$. ^[1]

Любое действительное число с конечным показателем иррациональности имеет основание иррациональности , в то время как любое число с основанием иррациональности имеет показатель иррациональности и является числом Лиувилля.${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x)<\infty }$${\displaystyle \beta (x)=1}$${\displaystyle \beta (x)>1}$${\displaystyle \mu (x)=\infty }$

Число имеет показатель иррациональности и основание иррациональности .${\displaystyle L=[1;2,2^{2},2^{2^{2}},...]}$${\displaystyle \mu (L)=\infty }$${\displaystyle \beta (L)=1}$

Числа ( представляющие тетрацию ) имеют основание иррациональности .${\displaystyle \tau _{a}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{^{n}a}}=1+{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a^{a}}}+{\frac {1}{a^{a^{a}}}}+{\frac {1}{a^{a^{a^{a}}}}}+...}$${\displaystyle {^{n}a}}$${\displaystyle a=2,3,4...}$${\displaystyle \beta (\tau _{a})=a}$

Число имеет основание иррациональности , следовательно, является суперчислом Лиувилля.${\displaystyle S=1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{4^{2^{1}}}}+{\frac {1}{8^{4^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{32^{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}}+\ldots }$${\displaystyle \beta (S)=\infty }$

Хотя неизвестно, является ли число Лиувилля ^{[32] : 20,} известно, что . ^{[5] : 371}${\displaystyle e^{\pi }}$${\displaystyle \beta (e^{\pi })=1}$

Установка дает более сильную меру иррациональности: константу Маркова . Для иррационального числа это множитель, на который можно улучшить теорему Дирихле для . А именно, если — положительное действительное число, то неравенство${\displaystyle f(q,M)=(Mq^{2})^{-1}}$ ${\displaystyle M(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle c<M(x)}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{cq^{2}}}}$

имеет бесконечно много решений . Если существует не более конечного числа решений.${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle c>M(x)}$

Теорема аппроксимации Дирихле подразумевает , а теорема Гурвица дает оба для иррациональных . ^[33]${\displaystyle M(x)\geq 1}$${\displaystyle M(x)\geq {\sqrt {5}}}$${\displaystyle x}$

Это на самом деле лучшая общая нижняя граница, поскольку золотое сечение дает . Это также .${\displaystyle M(\varphi )={\sqrt {5}}}$${\displaystyle M({\sqrt {2}})=2{\sqrt {2}}}$

Учитывая его простое разложение в цепную дробь , можно получить: ^[34]${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$

${\displaystyle M(x)=\limsup _{n\to \infty }{([a_{n+1};a_{n+2},a_{n+3},...]+[0;a_{n},a_{n-1},...,a_{2},a_{1}])}.}$

Границы для константы Маркова также могут быть заданы с помощью . ^[35] Это подразумевает, что тогда и только тогда, когда не ограничено и, в частности, если является квадратичным иррациональным числом . Дальнейшим следствием является .${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$${\displaystyle {\sqrt {p^{2}+4}}\leq M(x)<p+2}$${\displaystyle p=\limsup _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle M(x)=\infty }$${\displaystyle (a_{k})}$${\displaystyle M(x)<\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle M(e)=\infty }$

Любое число с или имеет неограниченную простую цепную дробь и, следовательно , .${\displaystyle \mu (x)>2}$${\displaystyle \beta (x)>1}$${\displaystyle M(x)=\infty }$

Для рациональных чисел это можно определить .${\displaystyle r}$${\displaystyle M(r)=0}$

Значения и подразумевают, что неравенство имеет для всех бесконечно много решений , тогда как неравенство имеет для всех только самое большее конечное количество решений . Это порождает вопрос о том, какова наилучшая верхняя граница. Ответ дается формулой: ^[36]${\displaystyle M(e)=\infty }$${\displaystyle \mu (e)=2}$${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{cq^{2}}}}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}}$${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c\ln \ln q}{q^{2}\ln q}}}$

которому удовлетворяет бесконечное множество для , но не для .${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle c>{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle c<{\tfrac {1}{2}}}$

Это делает это число${\displaystyle e}$ наряду с рациональными и квадратичными иррациональными числами исключением из того факта, что для почти всех действительных чисел неравенство ниже имеет бесконечно много решений : ^[5] (см. теорему Хинчина )${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}\ln q}}}$

Курт Малер расширил концепцию меры иррациональности и определил так называемую меру трансцендентности , опираясь на идею числа Лиувилля и разделив трансцендентные числа на три различных класса. ^[3]

Вместо того, чтобы брать для данного действительного числа разность с , можно вместо этого сосредоточиться на члене с и с . Рассмотрим следующее неравенство:${\displaystyle x}$${\displaystyle |x-p/q|}$${\displaystyle p/q\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle |qx-p|=|L(x)|}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle L\in \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle \deg L=1}$

${\displaystyle 0<|qx-p|\leq \max(|p|,|q|)^{-\omega }}$с и .${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

Определим как множество всех, для которых существует бесконечно много решений , таких, что неравенство выполняется. Тогда — мера иррациональности Малера. Она дает для рациональных чисел, для алгебраических иррациональных чисел и вообще , где обозначает показатель иррациональности.${\displaystyle R}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \omega _{1}(x)=\sup M}$${\displaystyle \omega _{1}(p/q)=0}$${\displaystyle \omega _{1}(\alpha )=1}$${\displaystyle \omega _{1}(x)=\mu (x)-1}$${\displaystyle \mu (x)}$

Меру иррациональности Малера можно обобщить следующим образом: ^{[2] [3]} Возьмем в качестве многочлена с и целыми коэффициентами . Затем определим функцию высоты и рассмотрим для комплексных чисел неравенство:${\displaystyle P}$${\displaystyle \deg P\leq n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H(P)=\max(|a_{0}|,|a_{1}|,...,|a_{n}|)}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle 0<|P(z)|\leq H(P)^{-\omega }}$с .${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

Установить как множество всех, для которых существует бесконечно много таких многочленов, которые поддерживают неравенство выполненным. Далее определить для всех , где является вышеуказанной мерой иррациональности, является мерой неквадратичности и т. д.${\displaystyle R}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle \omega _{n}(z)=\sup R}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \omega _{1}(z)}$${\displaystyle \omega _{2}(z)}$

Тогда мера трансцендентности Малера определяется выражением:

${\displaystyle \omega (z)=\limsup _{n\to \infty }\omega _{n}(z).}$

Трансцендентные числа теперь можно разделить на следующие три класса:

Если для всех значение конечно и также конечно, то называется S-числом (типа ).${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \omega _{n}(z)}$${\displaystyle \omega (z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \omega (z)}$

Если для всех значение конечно, но бесконечно , то называется числом T.${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \omega _{n}(z)}$${\displaystyle \omega (z)}$${\displaystyle z}$

Если существует наименьшее положительное целое число такое, что для всех оно бесконечно, то оно называется U-числом (степени ).${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle \omega _{n}(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle N}$

Число является алгебраическим (и называется А-числом ) тогда и только тогда, когда .${\displaystyle z}$${\displaystyle \omega (z)=0}$

Почти все числа являются S-числами. Фактически, почти все действительные числа дают , в то время как почти все комплексные числа дают . ^{[37] : 86} Число e является S-числом с . Число π является либо S-, либо T-числом. ^{[37] : 86} U-числа представляют собой множество меры 0, но все еще несчетное. ^[38] Они содержат числа Лиувилля, которые являются в точности U-числами первой степени.${\displaystyle \omega (x)=1}$${\displaystyle \omega (z)={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \omega (e)=1}$

Другое обобщение меры иррациональности Малера дает линейную меру независимости. ^{[2] [13]} Для действительных чисел рассмотрим неравенство${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle 0<|c_{1}x_{1}+...+c_{n}x_{n}|\leq \max(|c_{1}|,...,|c_{n}|)^{-\nu }}$с и .${\displaystyle c_{1},...,c_{n}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

Определим как множество всех, для которых существует бесконечно много решений , таких, что неравенство выполняется. Тогда — линейная мера независимости.${\displaystyle R}$${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle c_{1},...c_{n}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \nu (x_{1},...,x_{n})=\sup R}$

Если линейно зависимы от , то .${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Q} } }$${\displaystyle \nu (x_{1},...,x_{n})=0}$

Если — линейно независимые алгебраические числа над , то . ^[32]${\displaystyle 1,x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Q} } }$${\displaystyle \nu (1,x_{1},...,x_{n})\leq n}$

Это дальше .${\displaystyle \nu (1,x)=\omega _{1}(x)=\mu (x)-1}$

Юрьен Коксма в 1939 году предложил еще одно обобщение, похожее на обобщение Малера, основанное на приближениях комплексных чисел алгебраическими числами. ^{[3] [37]}

Для заданного комплексного числа рассмотрим алгебраические числа степени не выше . Определим функцию высоты , где — характеристический многочлен , и рассмотрим неравенство:${\displaystyle z}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle H(\alpha )=H(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle 0<|z-\alpha |\leq H(\alpha )^{-\omega ^{*}-1}}$с .${\displaystyle \omega ^{*}\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

Установить как множество всех, для которых существует бесконечно много таких алгебраических чисел , которые поддерживают неравенство выполненным. Далее определить для всех с быть мерой иррациональности, быть мерой неквадратичности , ^[17] и т. д.${\displaystyle R}$${\displaystyle \omega ^{*}\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{n}^{*}(z)=\sup R}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \omega _{1}^{*}(z)}$${\displaystyle \omega _{2}^{*}(z)}$

Тогда мера трансцендентности Коксмы определяется выражением:

${\displaystyle \omega ^{*}(z)=\limsup _{n\to \infty }\omega _{n}^{*}(z)}$.

Комплексные числа теперь снова можно разбить на четыре класса A*, S*, T* и U*. Однако оказывается, что эти классы эквивалентны тем, которые дал Малер, в том смысле, что они производят точно такое же разбиение. ^{[37] : 87}

При наличии действительного числа мера иррациональности определяет, насколько хорошо оно может быть приближено рациональными числами со знаменателем . Если берется алгебраическое число, которое также является иррациональным, можно получить, что неравенство${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle x=\alpha }$

${\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$

имеет не более конечного числа решений для . Это известно как теорема Рота .${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mu >2}$

Это можно обобщить: если задан набор действительных чисел, можно количественно оценить, насколько хорошо они могут быть одновременно приближены рациональными числами с тем же знаменателем . Если взять алгебраические числа, такие, что линейно независимы относительно рациональных чисел , то неравенства${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q}},...,{\frac {p_{n}}{q}}}$${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle x_{i}=\alpha _{i}}$${\displaystyle 1,\alpha _{1},...,\alpha _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0<\left|\alpha _{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}},\forall i\in \{1,...,n\}}$

имеют только не более конечного числа решений для . Этот результат принадлежит Вольфгангу М. Шмидту . ^{[39] [40]}${\displaystyle \left({\frac {p_{1}}{q}},...,{\frac {p_{n}}{q}}\right)\in \mathbb {Q} ^{n}}$${\displaystyle \mu >1+{\frac {1}{n}}}$

• Диофантово приближение
• Трансцендентное число
• Продолженная дробь
• Число Брюно