полугруппа Манна

В математике полугруппа Манна — обратная полугруппа изоморфизмов между главными идеалами полурешётки ( коммутативной полугруппы идемпотентов). Полугруппы Манна названы в честь шотландского математика Уолтера Дугласа Манна (1929–2008). ^[1]

Пусть — полурешетка.${\displaystyle E}$

1) Для всех e из E определим Ee : = { i  ∈  E  :  i  ≤  e } , который является главным идеалом E  .

2 ) Для всех e ,  f из E определим T _{e , f} как множество изоморфизмов Ee на  Ef .

3) Полугруппа Манна полурешетки E определяется как: T _E  :=   {  T _{e , f}  : ( e ,  f ) ∈ U }.${\displaystyle \bigcup _{e,f\in E}}$

Операция полугруппы — это композиция частичных отображений . Фактически, мы можем заметить, что T _E  ⊆  I _E , где I _E — симметричная обратная полугруппа, поскольку все изоморфизмы являются частичными взаимно-однозначными отображениями из подмножеств E на подмножества  E .

Идемпотентами полугруппы Манна являются тождественные отображения ₁ Ee .

Для любой полурешетки полурешетка идемпотентов изоморфна E.${\displaystyle E}$${\displaystyle T_{E}}$

Пусть . Тогда — полурешетка при обычном порядке натуральных чисел ( ). Главные идеалы для тогда для всех . Таким образом, главные идеалы и изоморфны тогда и только тогда, когда .${\displaystyle E=\{0,1,2,...\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 0<1<2<...}$${\displaystyle E}$${\displaystyle En=\{0,1,2,...,n\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Эм}$${\displaystyle Ru}$${\displaystyle м=н}$

Таким образом = { } где — тождественное отображение из En в себя, и если . Полугрупповое произведение и равно . В этом примере${\displaystyle T_{n,n}}$${\displaystyle 1_{En}}$${\displaystyle 1_{En}}$${\displaystyle T_{m,n}=\emptyset }$${\displaystyle m\not =n}$${\displaystyle 1_{Эм}}$${\displaystyle 1_{En}}$${\displaystyle 1_{E\operatorname {мин} \{м,н\}}}$${\displaystyle T_{E}=\{1_{E0},1_{E1},1_{E2},\ldots \}\cong E.}$

• Хауи, Джон М. (1995), Введение в теорию полугрупп , Оксфорд: Oxford science publication.
• Митчелл, Джеймс Д. (2011), Полугруппы Манна полурешеток размера не более 7.