Введение в упаковку кругов

Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций — математическая монография , посвященная системам касающихся кругов и теореме об упаковке кругов . Она была написана Кеннетом Стивенсоном и опубликована в 2005 году издательством Cambridge University Press .

Темы

Упаковки кругов, изучаемые в этой книге, представляют собой системы кругов, которые касаются в точках касания, но не перекрываются, в соответствии с комбинаторной моделью смежности, определяющей, какие пары кругов должны касаться. Теорема об упаковке кругов утверждает, что упаковка кругов существует тогда и только тогда, когда модель смежности образует планарный граф ; она была первоначально доказана Полом Кёбе в 1930-х годах и популяризирована Уильямом Терстоном , который заново открыл ее в 1970-х годах и связал с теорией конформных отображений и конформной геометрией . [1] Как тему, это следует отличать от упаковки сфер , которая рассматривает более высокие измерения (здесь все двумерно) и больше сосредоточена на плотности упаковки, чем на комбинаторных моделях касания. [2] [3]

Книга разделена на четыре части, с возрастающими уровнями сложности. [4] Первая часть представляет предмет визуально, побуждая читателя думать об упаковках не просто как о статических объектах, а как о динамических системах окружностей, которые изменяются предсказуемым образом, когда изменяются условия, при которых они формируются (их модели смежности). Вторая часть касается доказательства самой теоремы об упаковке окружностей и связанной с ней теоремы о жесткости : каждый максимальный планарный граф может быть связан с упаковкой окружностей, которая является единственной с точностью до преобразований Мёбиуса плоскости. [1] [3] В более общем смысле тот же результат справедлив для любого триангулированного многообразия с упаковкой окружностей на топологически эквивалентной римановой поверхности , которая является единственной с точностью до конформной эквивалентности. [5]

Третья часть книги посвящена степеням свободы, которые возникают, когда шаблон смежности не полностью триангулирован (это планарный граф, но не максимальный планарный граф). В этом случае различные расширения этого шаблона до более крупных максимальных планарных графов приведут к различным упаковкам, которые могут быть отображены друг на друга соответствующими окружностями. Книга исследует связь между этими отображениями, которые она называет дискретными аналитическими функциями, и аналитическими функциями классического математического анализа . Заключительная часть книги посвящена гипотезе Уильяма Терстона, доказанной Бертоном Роденом и Деннисом Салливаном , которая делает эту аналогию конкретной: конформные отображения из любого топологического диска в круг можно аппроксимировать, заполнив диск гексагональной упаковкой единичных кругов, найдя упаковку кругов, которая добавляет к этому шаблону смежности один внешний круг, и построив результирующую дискретную аналитическую функцию. Эта часть также включает приложения к теории чисел и визуализации структуры мозга. [1] [3]

Стивенсон реализовал алгоритмы для упаковки кругов и использовал их для построения множества иллюстраций книги, [5] придавая большей части этой работы оттенок экспериментальной математики , хотя она также является математически строгой. [4] Нерешенные проблемы перечислены на протяжении всей книги, которая также включает девять приложений по связанным темам, таким как кольцевая лемма и спирали Дойла . [1] [3]

Аудитория и прием

Книга представляет собой исследовательский уровень математики и ориентирована на профессиональных математиков, интересующихся этой и смежными темами. Рецензент Фредерик Матеус описывает уровень материала в книге как «и математически строгий, и доступный для начинающего математика», представленный в доступном стиле, который передает любовь автора к материалу. [6] Однако, хотя в предисловии к книге говорится, что никаких дополнительных знаний не требуется, и что книгу могут читать нематематики или использовать в качестве учебника для студентов, рецензент Мишель Интермонт не согласна, отмечая, что в ней нет упражнений для студентов, и пишет, что «нематематики будут только разочарованы этой книгой». [2] Аналогичным образом рецензент Дэвид Мамфорд считает, что первые семь глав (часть I и большая часть части II) находятся на уровне студентов, но пишет, что «в целом книга подходит для аспирантов по математике». [4]

Публикация

  • Стивенсон, Кеннет (2005), Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций , Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 9780521823562, OCLC  55878014

Ссылки

  1. ^ abcd Покас, Сергей М., "Обзор Введения в упаковку кругов ", zbMATH , Zbl  1074.52008
  2. ^ ab Intermont, Michele (декабрь 2005 г.), «Обзор книги « Введение в упаковку кругов », MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
  3. ^ abcd Лорд, Ник (ноябрь 2006 г.), «Обзор Введения в упаковку кругов », The Mathematical Gazette , 90 (519): 554– 556, doi : 10.1017/S0025557200180726 , JSTOR  40378239, S2CID  126249069
  4. ^ abc Мамфорд, Дэвид (январь–февраль 2006 г.), «Stuff it! (Обзор Введения в упаковку кругов )», American Scientist , 94 (1): 84– 86, doi :10.1511/2006.57.84, JSTOR  27858719
  5. ^ ab Кэннон, Дж. У.; Флойд , У. Дж .; Пэрри, У. Р. (июнь 2007 г.), «Обзор введения в упаковку кругов », The Mathematical Intelligencer , 29 (3): 63– 66, doi : 10.1007/bf02985693, S2CID  123145356
  6. ^ Матеус, Фредерик (2006), «Обзор Введения в упаковку кругов », Mathematical Reviews , MR  2131318
  • Программное обеспечение CirclePack Кена Стивенсона
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Введение_в_упаковку_кругов&oldid=1170300180"