Система взаимодействующих частиц

В теории вероятностей система взаимодействующих частиц ( IPS ) — это стохастический процесс на некотором конфигурационном пространстве , заданном пространством узлов, графом счетно-бесконечного порядка и локальным пространством состояний, компактным метрическим пространством . Точнее, IPS — это непрерывные во времени марковские скачковые процессы, описывающие коллективное поведение стохастически взаимодействующих компонентов. IPS — это непрерывный во времени аналог стохастических клеточных автоматов .${\displaystyle (X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$${\displaystyle \Омега =S^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Среди основных примеров — модель избирателя , контактный процесс , асимметричный простой процесс исключения (ASEP), динамика Глаубера и, в частности, стохастическая модель Изинга .

IPS обычно определяются через их марковский генератор, дающий начало уникальному марковскому процессу с использованием марковских полугрупп и теоремы Хилле-Йосиды . Генератор снова задается через так называемые скорости перехода , где — конечный набор узлов и с для всех . Скорости описывают экспоненциальное время ожидания процесса для перехода из конфигурации в конфигурацию . В более общем смысле скорости перехода задаются в виде конечной меры на .${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta,\xi)>0}$${\displaystyle \Лямбда \подмножество G}$${\displaystyle \eta ,\xi \in \Omega }$${\displaystyle \eta _{i} = \xi _{i}}$${\displaystyle я\notin \Lambda}$${\displaystyle \эта}$${\displaystyle \xi}$${\ displaystyle c _ {\ Lambda } (\ eta, d \ xi)}$${\displaystyle S^{\Лямбда}}$

Генератор IPS имеет следующий вид. Во-первых, область определения является подмножеством пространства «наблюдаемых», то есть множества действительных непрерывных функций на конфигурационном пространстве . Тогда для любой наблюдаемой в области определения , имеем${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]}$.

Например, для стохастической модели Изинга имеем , , если для некоторых и${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$${\displaystyle i\in G}$

${\displaystyle c_{i}(\eta,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|ji|=1}\eta _{i}\eta _{j}] }$

где конфигурация равна , за исключением того, что она перевернута на месте . — новый параметр, моделирующий обратную температуру.${\displaystyle \эта ^{я}}$${\displaystyle \эта}$${\displaystyle я}$${\displaystyle \бета}$

Модель избирателя (обычно в непрерывном времени, но существуют и дискретные версии) представляет собой процесс, аналогичный контактному процессу . В этом процессе принимается во внимание отношение избирателя к определенной теме. Избиратели пересматривают свои мнения в моменты времени, распределенные в соответствии с независимыми экспоненциальными случайными величинами (это дает процесс Пуассона локально — обратите внимание, что в общем случае существует бесконечно много избирателей, поэтому глобальный процесс Пуассона использовать нельзя). В моменты переосмысления избиратель выбирает одного соседа равномерно из всех соседей и принимает мнение этого соседа. Можно обобщить процесс, разрешив выбору соседей быть чем-то иным, чем единообразие.${\displaystyle \эта (x)}$

В модели избирателя с дискретным временем в одном измерении представляет состояние частицы в момент времени . Неформально каждый индивидуум располагается на линии и может «видеть» других индивидуумов, находящихся в радиусе . Если больше определенной доли этих людей не согласны, то индивидуум меняет свое отношение, в противном случае оно остается прежним. Дарретт и Штейф (1993) и Штейф (1994) показывают, что для больших радиусов существует критическое значение, такое что если большинство индивидуумов никогда не меняются, и для в пределе большинство сайтов соглашаются. (Оба этих результата предполагают, что вероятность равна половине.)${\displaystyle \xi _{t}(x):\mathbb {Z} \to \{0,1\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle т}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \тета}$${\displaystyle \theta _{c}}$${\displaystyle \theta >\theta _{c}}$${\displaystyle \theta \in (1/2,\theta _{c})}$${\displaystyle \xi _{0}(x)=1}$

Этот процесс имеет естественное обобщение на большее количество измерений, некоторые результаты этого обсуждаются в работе Дурретта и Штейфа (1993).

Непрерывный процесс времени похож тем, что он представляет, что каждый человек имеет убеждение в определенный момент времени и меняет его в зависимости от отношения его соседей. Процесс неформально описан Лиггеттом ( 1985, 226): «Периодически (т. е. в независимые экспоненциальные моменты времени) человек переоценивает свою точку зрения довольно простым способом: он выбирает «друга» случайным образом с определенными вероятностями и принимает его позицию». Модель была построена с этой интерпретацией Холли и Лиггеттом (1975).

Этот процесс эквивалентен процессу, впервые предложенному Клиффордом и Садбери (1973), где животные находятся в конфликте за территорию и равны по размеру. Выбирается место, на которое в определенное время вторгается сосед.

• Клиффорд, Питер; Эйдан Садбери (1973). «Модель пространственного конфликта». Biometrika . 60 (3): 581– 588. doi :10.1093/biomet/60.3.581.
• Дарретт, Ричард ; Джеффри Э. Штейф (1993). «Результаты фиксации для пороговых систем голосования». Анналы вероятности . 21 (1): 232– 247. doi : 10.1214/aop/1176989403 .
• Холли, Ричард А.; Томас М. Лиггетт (1975). «Эргодические теоремы для слабо взаимодействующих бесконечных систем и модель избирателя». Анналы вероятности . 3 (4): 643– 663. doi : 10.1214/aop/1176996306 .
• Штейф, Джеффри Э. (1994). «Пороговый избирательный автомат в критической точке». Анналы вероятности . 22 (3): 1121– 1139. doi : 10.1214/aop/1176988597 .
• Лиггетт, Томас М. (1997). «Стохастические модели взаимодействующих систем». Анналы вероятности . 25 (1). Институт математической статистики: 1– 29. doi : 10.1214/aop/1024404276 . ISSN  0091-1798.
• Лиггетт, Томас М. (1985). Взаимодействующие системы частиц . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 0-387-96069-4.