Интегро-дифференциальное уравнение

В математике интегро -дифференциальное уравнение — это уравнение , включающее как интегралы , так и производные функции .

Общее линейное (только относительно члена, содержащего производную) интегро-дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u(x)),\qquad u(x_{0})=u_{0},\qquad x_{0}\geq 0.}$

Как это типично для дифференциальных уравнений , получение решения в замкнутой форме часто может быть сложным. В относительно немногих случаях, когда решение может быть найдено, оно часто достигается с помощью некоторого вида интегрального преобразования, когда проблема сначала преобразуется в алгебраическую постановку. В таких ситуациях решение проблемы может быть получено путем применения обратного преобразования к решению этого алгебраического уравнения.

Рассмотрим следующую задачу второго порядка:

${\displaystyle u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\theta (x)\qquad {\text{with}}\qquad u(0)=0,}$

где

${\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.}$

— это ступенчатая функция Хевисайда . Преобразование Лапласа определяется как,

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.}$

Применяя почленные преобразования Лапласа и используя правила для производных и интегралов, интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в следующее алгебраическое уравнение:

${\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}$

Таким образом,

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}$.

Обращение преобразования Лапласа с использованием методов контурного интеграла дает

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

В качестве альтернативы можно завершить квадрат и использовать таблицу преобразований Лапласа («экспоненциально затухающая синусоида») или вызвать ее по памяти, чтобы продолжить:

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^{2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

Интегро-дифференциальные уравнения моделируют множество ситуаций из науки и техники , например, в анализе цепей. Согласно второму закону Кирхгофа , чистое падение напряжения на замкнутом контуре равно приложенному напряжению . (По сути, это применение закона сохранения энергии .) Таким образом, RLC-цепь подчиняется , где — ток как функция времени, — сопротивление, индуктивность и емкость. ^[1]${\displaystyle E(t)}$$${\displaystyle L{\frac {d}{dt}}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau =E(t),}$$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle C}$

Активность взаимодействующих тормозных и возбуждающих нейронов можно описать системой интегро-дифференциальных уравнений, см., например, модель Уилсона-Коуэна .

Уравнение Уизема используется для моделирования нелинейных дисперсионных волн в динамике жидкости. ^[2]

Интегро-дифференциальные уравнения нашли применение в эпидемиологии , математическом моделировании эпидемий , особенно когда модели содержат возрастную структуру ^[3] или описывают пространственные эпидемии. ^[4] Теория передачи инфекционных заболеваний Кермака-Маккендрика является одним из конкретных примеров, где возрастная структура населения включена в структуру моделирования.

• Дифференциальное уравнение с задержкой
• Дифференциальное уравнение
• Интегральное уравнение
• Интегроразностное уравнение

• Вангипурам Лакшмикантам, М. Рама Мохана Рао, «Теория интегро-дифференциальных уравнений», CRC Press, 1995 г.

• Интерактивная математика
• Численное решение примера с использованием Chebfun