Интегроразностное уравнение

В математике интегроразностное уравнение — это рекуррентное соотношение на функциональном пространстве следующего вида:

${\ displaystyle n_ {t + 1} (x) = \ int _ {\ Omega } k (x, y) \, f (n_ {t} (y)) \, dy,}$

где — последовательность в пространстве функций, а — область определения этих функций. В большинстве приложений для любого — функция плотности вероятности на . Обратите внимание, что в определении выше может быть векторным, в этом случае каждый элемент имеет скалярное интегроразностное уравнение, связанное с ним. Интегроразностные уравнения широко используются в математической биологии , особенно в теоретической экологии , для моделирования распространения и роста популяций. ^[1] В этом случае — размер или плотность популяции в месте в момент времени , описывает локальный рост популяции в месте и , — вероятность перемещения из точки в точку , часто называемая ядром распространения. Интегроразностные уравнения чаще всего используются для описания унивольтинных популяций, включая, помимо прочего, многие виды членистоногих и однолетних растений. Однако многовольтинные популяции также можно моделировать с помощью интегроразностных уравнений, ^[2] если у организма нет перекрывающихся поколений. В данном случае измеряется не годами, а скорее промежутком времени между выводками.${\displaystyle \{n_{t}\}\,}$${\displaystyle \Омега \,}$${\displaystyle y\in \Омега \,}$${\displaystyle k(x,y)\,}$${\displaystyle \Омега \,}$${\displaystyle n_{t}}$${\displaystyle \{n_{t}\}}$${\displaystyle n_{t}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle т}$${\displaystyle f(n_{t}(x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k(x,y)}$${\displaystyle у}$${\displaystyle x}$${\displaystyle т}$

В одном пространственном измерении ядро ​​рассеивания часто зависит только от расстояния между источником и пунктом назначения и может быть записано как . В этом случае некоторые естественные условия на f и k подразумевают, что существует четко определенная скорость распространения для волн вторжения, генерируемых из компактных начальных условий. Скорость волны часто вычисляется путем изучения линеаризованного уравнения${\displaystyle k(xy)}$

${\displaystyle n_{t+1}=\int _{-\infty }^{\infty }k(xy)Rn_{t}(y)dy}$

где . Это можно записать как свертку${\displaystyle R=\left.{\dfrac {df}{dn}}\right|_{n=0}}$

${\displaystyle n_{t+1}=f'(0)k*n_{t}}$

Использование преобразования функции, генерирующей момент

${\displaystyle M(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{sx}n(x)dx}$

было показано, что критическая скорость волны

${\displaystyle c^{*}=\min _{w>0}\left[{\frac {1}{w}}\ln \left(R\int _{-\infty }^{\infty }k(s)e^{ws}ds\right)\right]}$

Другие типы уравнений, используемые для моделирования динамики популяции в пространстве, включают уравнения реакции-диффузии и уравнения метапопуляции . Однако уравнения диффузии не так легко позволяют включать явные закономерности рассеивания и биологически точны только для популяций с перекрывающимися поколениями. ^[3] Уравнения метапопуляции отличаются от интегро-разностных уравнений тем, что они разбивают популяцию на дискретные участки, а не на непрерывный ландшафт.