Внутренний автоморфизм
Автоморфизм группы, кольца или алгебры, заданный действием сопряжения одного из ее элементов

В абстрактной алгебре внутренний автоморфизм — это автоморфизм группы , кольца или алгебры, заданный действием сопряжения фиксированного элемента, называемого сопрягающим элементом . Они могут быть реализованы посредством операций изнутри самой группы, отсюда и прилагательное «внутренний». Эти внутренние автоморфизмы образуют подгруппу группы автоморфизмов, а факторгруппы автоморфизмов по этой подгруппе определяется как внешняя группа автоморфизмов .

Определение

Если G — группа, а g — элемент G (или, если G — кольцо, а g — единица ), то функция

φ г : Г → Г φ г ( х ) := г − 1 х г {\displaystyle {\begin{align}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{align}}}

называется (правым) сопряжением с помощью g ( см. также класс сопряженности ). Эта функция является эндоморфизмом G : для всех х 1 , х 2 ∈ Г , {\displaystyle x_{1},x_{2}\in G,}

φ г ( х 1 х 2 ) = г − 1 х 1 х 2 г = г − 1 х 1 ( г г − 1 ) х 2 г = ( г − 1 х 1 г ) ( г − 1 х 2 г ) = φ г ( х 1 ) φ г ( х 2 ) , {\displaystyle \varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),}

где второе равенство дается вставкой тождества между и Кроме того, он имеет левое и правое обратное , а именно Таким образом, является как мономорфизмом , так и эпиморфизмом , и, следовательно, изоморфизмом G с самим собой, т.е. автоморфизмом. Внутренний автоморфизм — это любой автоморфизм, который возникает из сопряжения. [1] х 1 {\displaystyle x_{1}} х 2 . {\displaystyle x_{2}.} φ г − 1 . {\displaystyle \varphi _{g^{-1}}.} φ г {\displaystyle \varphi _{g}}

Общая взаимосвязь между различными гомоморфизмами.

При обсуждении правого сопряжения выражение часто обозначается экспоненциально: Эта запись используется потому, что композиция сопряжений удовлетворяет тождеству: для всех Это показывает, что правое сопряжение дает правое действие G на себя. г − 1 х г {\displaystyle g^{-1}xg} х г . {\displaystyle x^{g}.} ( х г 1 ) г 2 = х г 1 г 2 {\displaystyle \left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}} г 1 , г 2 ∈ Г . {\displaystyle g_{1},g_{2}\in G.}

Вот типичный пример: [2] [3]

Связь морфизмов и элементов

Опишите гомоморфизм , для которого образ, , является нормальной подгруппой внутренних автоморфизмов группы ; в качестве альтернативы, опишите естественный гомоморфизм , ядро ​​которого является центром (всех , для которых сопряжение с ними возвращает тривиальный автоморфизм), другими словами, . Всегда существует естественный гомоморфизм , который сопоставляет каждому (внутреннему) автоморфизму в . Тождественно выразим, . Ф {\displaystyle \Фи} Я ( Ф ) {\displaystyle {\text{Im}}(\Phi)} Г {\displaystyle G} Ф {\displaystyle \Фи} Г {\displaystyle G} г ∈ Г {\displaystyle g\in G} Кер ( Ф ) = З ( Г ) {\displaystyle {\text{Кер}}(\Phi)={\text{Z}}(G)} Ф : Г → Авт ( Г ) {\displaystyle \Phi :G\to {\text{Aut}}(G)} г ∈ Г {\displaystyle g\in G} φ г {\displaystyle \varphi _{g}} Авт ( Г ) {\displaystyle {\text{Авт}}(Г)} Ф : г ↦ φ г {\displaystyle \Phi:g\mapsto \varphi _{g}}

Пусть как определено выше. Это требует демонстрации того, что (1) является гомоморфизмом, (2) также является биекцией, (3) является гомоморфизмом. φ г ( х ) := г х г − 1 {\displaystyle \varphi _{g}(x):=gxg^{-1}} φ г {\displaystyle \varphi _{g}} φ г {\displaystyle \varphi _{g}} Ф {\displaystyle \Фи}

  1. φ г ( х х ′ ) = г х х ′ г − 1 = г х ( г − 1 г ) х ′ г − 1 = ( г х г − 1 ) ( г х ′ г − 1 ) = φ г ( х ) φ г ( х ′ ) {\displaystyle \varphi _{g}(xx')=gxx'g^{-1}=gx(g^{-1}g)x'g^{-1}=(gxg^{-1})(gx'g^{-1})=\varphi _{g}(x)\varphi _{g}(x')}
  2. Условие биективности можно проверить, просто представив обратный элемент, так что мы можем вернуться к из . В этом случае это сопряжение по обозначается как . х {\displaystyle x} г х г − 1 {\displaystyle gxg^{-1}} г − 1 {\displaystyle г^{-1}} φ г − 1 {\displaystyle \varphi _{g^{-1}}}
  3. Ф ( г г ′ ) ( х ) = ( г г ′ ) х ( г г ′ ) − 1 {\displaystyle \Фи (gg')(x)=(gg')x(gg')^{-1}} и Ф ( г ) ∘ Ф ( г ′ ) ( х ) = Ф ( г ) ∘ ( г ′ час г ′ − 1 ) = г г ′ час г ′ − 1 г − 1 = ( г г ′ ) час ( г г ′ ) − 1 {\displaystyle \Phi (g)\circ \Phi (g')(x)=\Phi (g)\circ (g'hg'^{-1})=gg'hg'^{-1}g^{-1}=(gg')h(gg')^{-1}}

Внутренние и внешние группы автоморфизмов

Композиция двух внутренних автоморфизмов снова является внутренним автоморфизмом, и при этой операции совокупность всех внутренних автоморфизмов группы G представляет собой группу, группу внутренних автоморфизмов группы G , обозначаемую Inn( G ) .

Inn( G ) — нормальная подгруппа полной группы автоморфизмов Aut( G ) группы G. Внешняя группа автоморфизмов Out( G ) — это фактор-группа

Вне ⁡ ( Г ) = Авт ⁡ ( Г ) / гостиница ⁡ ( Г ) . {\displaystyle \operatorname {Выход} (G)=\operatorname {Выход} (G)/\operatorname {Вход} (G).}

Группа внешних автоморфизмов в некотором смысле измеряет, сколько автоморфизмов G не являются внутренними. Каждый невнутренний автоморфизм даёт нетривиальный элемент Out( G ) , но различные невнутренние автоморфизмы могут давать один и тот же элемент Out( G ) .

Утверждение, что сопряжение x с помощью a оставляет x неизменным, эквивалентно утверждению, что a и x коммутируют:

а − 1 х а = х ⟺ х а = а х . {\displaystyle a^{-1}xa=x\если и только если xa=ax.}

Поэтому наличие и количество внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественным отображением, является своего рода мерой невыполнения коммутативного закона в группе (или кольце).

Автоморфизм группы G является внутренним тогда и только тогда, когда он распространяется на каждую группу, содержащую G. [ 4]

Связывая элемент a ∈ G с внутренним автоморфизмом f ( x ) = x a в Inn( G ) , как указано выше, получаем изоморфизм между фактор -группой G / Z( G ) (где Z( G ) — центр G ) и группой внутренних автоморфизмов:

Г / З ( Г ) ≅ гостиница ⁡ ( Г ) . {\displaystyle G\,/\,\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G).}

Это является следствием первой теоремы об изоморфизме , поскольку Z( G ) — это в точности множество тех элементов группы G , которые задают тождественное отображение как соответствующий внутренний автоморфизм (сопряжение ничего не меняет).

Невнутренние автоморфизмы конечныхп-группы

Результат Вольфганга Гашюца гласит, что если G — конечная неабелева p -группа , то G имеет автоморфизм порядка p -степени, который не является внутренним.

Открытой проблемой является то, имеет ли каждая неабелева p -группа G автоморфизм порядка p . Последний вопрос имеет положительный ответ, если G удовлетворяет одному из следующих условий:

  1. G нильпотентна класса 2
  2. G — регулярная p -группа
  3. G / Z( G ) — мощная p -группа
  4. Централизатор в G , C G , центра, Z , подгруппы Фраттини , Φ , группы G , C G ∘ Z ∘ Φ( G ) , не равен Φ( G )

Типы групп

Группа внутренних автоморфизмов группы G , Inn( G ) , тривиальна (т.е. состоит только из единичного элемента ) тогда и только тогда, когда G абелева .

Группа Inn( G ) является циклической только тогда, когда она тривиальна.

На противоположном конце спектра внутренние автоморфизмы могут исчерпывать всю группу автоморфизмов; группа, все автоморфизмы которой являются внутренними, а центр тривиален, называется полной . Это имеет место для всех симметрических групп на n элементах, когда n не равно 2 или 6. Когда n = 6 , симметрическая группа имеет уникальный нетривиальный класс невнутренних автоморфизмов, а когда n = 2 , симметрическая группа, несмотря на отсутствие невнутренних автоморфизмов, является абелевой, что дает нетривиальный центр, что делает ее не полной.

Если внутренняя группа автоморфизмов совершенной группы G проста, то G называется квазипростой .

Случай алгебры Ли

Автоморфизм алгебры Ли 𝔊 называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид Ad g , где Ad — сопряженное отображение , а g — элемент группы Ли , алгебра Ли которой есть 𝔊 . Понятие внутреннего автоморфизма для алгебр Ли совместимо с понятием для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли индуцирует единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.

Расширение

Если G — группа единиц кольца A , то внутренний автоморфизм на G может быть расширен до отображения на проективную прямую над A группой единиц матричного кольца M 2 ( A ) . В частности, внутренние автоморфизмы классических групп могут быть расширены таким образом.

Ссылки

  1. ^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 45. ISBN 978-0-4714-5234-8. OCLC  248917264.
  2. ^ Грийе, Пьер (2010). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 56. ИСБН 978-1-4419-2450-6.
  3. ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 26. ISBN 978-0-387-95385-4.
  4. ^ Шупп, Пол Э. (1987), «Характеристика внутренних автоморфизмов» (PDF) , Труды Американского математического общества , 101 (2), Американское математическое общество: 226–228, doi : 10.2307/2045986 , JSTOR  2045986, MR  0902532

Дальнейшее чтение

  • Абдоллахи, А. (2010), «Мощные p -группы имеют невнутренние автоморфизмы порядка p и некоторые когомологии», J. Algebra , 323 (3): 779–789, arXiv : 0901.3182 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.10.013, MR  2574864
  • Абдоллахи, А. (2007), "Конечные p -группы класса 2 имеют невнутренние автоморфизмы порядка p ", Журнал алгебры , 312 (2): 876–879, arXiv : math/0608581 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.08.036, MR  2333188
  • Дьяконеску, М.; Зильберберг, Г. (2002), "Невнутренние автоморфизмы порядка p конечных p -групп", Журнал алгебры , 250 : 283–287, doi : 10.1006/jabr.2001.9093 , MR  1898386
  • Гашюц, В. (1966), «Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen», J. Algebra , 4 : 1–2, doi : 10.1016/0021-8693(66)90045-7 , MR  0193144
  • Либек, Х. (1965), "Внешние автоморфизмы в нильпотентных p -группах класса 2 ", J. London Math. Soc. , 40 : 268–275, doi :10.1112/jlms/s1-40.1.268, MR  0173708
  • Ремесленников, В.Н. (2001) [1994], "Внутренний автоморфизм", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
  • Вайсштейн, Эрик В. «Внутренний автоморфизм». Математический мир .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Внутренний_автоморфизм&oldid=1251017553"