Идеальное поле

В алгебре поле k является совершенным , если выполняется хотя бы одно из следующих эквивалентных условий:

• Каждый неприводимый многочлен над k не имеет кратных корней ни в каком расширении поля F/k .
• Каждый неприводимый многочлен над k имеет ненулевую формальную производную .
• Каждый неприводимый многочлен над k является сепарабельным .
• Каждое конечное расширение k отделимо .​
• Каждое алгебраическое расширение k отделимо .
• Либо k имеет характеристику 0, либо, когда k имеет характеристику p > 0 , каждый элемент k является p -й степенью .
• Либо k имеет характеристику 0, либо, когда k имеет характеристику p > 0 , эндоморфизм Фробениуса x ↦ x ^p является автоморфизмом k .
• Сепарабельное замыкание k алгебраически замкнуто .​
• Каждая редуцированная коммутативная k -алгебра A является сепарабельной алгеброй , т.е. является редуцированной для каждого расширения поля F / k . (см. ниже)${\displaystyle A\otimes _{k}F}$

В противном случае k называется несовершенным .

В частности, все поля нулевой характеристики и все конечные поля совершенны.

Совершенные поля важны, поскольку теория Галуа над этими полями упрощается, поскольку общее предположение Галуа о разделимости расширений полей автоматически выполняется над этими полями (см. третье условие выше).

Другим важным свойством совершенных полей является то, что они допускают векторы Витта .

В более общем смысле, кольцо характеристики p ( p — простое число ) называется совершенным , если эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом . ^[1] (При ограничении целостными областями это эквивалентно приведенному выше условию «каждый элемент k является p- й степенью».)

Примерами идеальных полей являются:

• каждое поле характеристики нуль, а также каждое конечное расширение, и ; ^[2]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• каждое конечное поле ; ^[3]${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$
• каждое алгебраически замкнутое поле ;
• объединение множества совершенных полей, полностью упорядоченных по расширению;
• поля, алгебраические над совершенным полем.

Большинство полей, которые встречаются на практике, являются совершенными. Несовершенный случай возникает в основном в алгебраической геометрии в характеристике p > 0. Каждое несовершенное поле обязательно трансцендентно над своим простым подполем (минимальным подполем), поскольку последнее является совершенным. Примером несовершенного поля является поле , поскольку эндоморфизм Фробениуса посылает и, следовательно, не является сюръективным. Это поле вкладывается в совершенное поле${\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x)}$${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2}},\ldots )}$

называемый его совершенством . Несовершенные поля вызывают технические трудности, поскольку неприводимые многочлены могут стать приводимыми в алгебраическом замыкании базового поля. Например, ^[4] рассмотрим для несовершенного поля характеристики и не p -й степени в k . Тогда в его алгебраическом замыкании выполняется следующее равенство:${\displaystyle f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]}$${\displaystyle к}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k^{\operatorname {alg} }[x,y]}$

${\displaystyle f(x,y)=(x+by)^{p},}$

где b ^p = a и такой b существует в этом алгебраическом замыкании. Геометрически это означает, что не определяет аффинную плоскую кривую в .${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k[x,y]}$

Любое конечно порождённое расширение поля K над совершенным полем k является отделимо порождённым, т.е. допускает разделяющую базу трансцендентности , то есть базу трансцендентности Γ такую, что K является отделимо алгебраической над k (Γ). ^[5]

Одно из эквивалентных условий гласит, что в характеристике p поле, присоединенное ко всем p корням степени ^r ( r ≥ 1 ), является совершенным; оно называется совершенным замыканием поля k и обычно обозначается через .${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$

Совершенное замыкание может быть использовано в тесте на отделимость. Точнее, коммутативная k -алгебра A отделима тогда и только тогда, когда является приведенной. ^[6]${\displaystyle A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}}$

В терминах универсальных свойств совершенное замыкание кольца A характеристики p — это совершенное кольцо A _p характеристики p вместе с кольцевым гомоморфизмом u  : A → A _p таким, что для любого другого совершенного кольца B характеристики p с гомоморфизмом v  : A → B существует единственный гомоморфизм f  : A _p → B такой, что v пропускается через u (т.е. v = fu ). Совершенное замыкание всегда существует; доказательство включает «присоединение корней p -й степени элементов A », аналогично случаю полей. ^[7]

Совершенство кольца A характеристики p является двойственным понятием (хотя этот термин иногда используется для совершенного замыкания). Другими словами, совершенство R ( A ) кольца A является совершенным кольцом характеристики p вместе с отображением θ  : R ( A ) → A таким, что для любого совершенного кольца B характеристики p, снабженного отображением φ  : B → A , существует единственное отображение f  : B → R ( A ) такое, что φ пропускается через θ (т.е. φ = θf ). Совершенство кольца A может быть построено следующим образом. Рассмотрим проективную систему

${\displaystyle \cdots \rightarrow А\rightarrow А\rightarrow А\rightarrow \cdots }$

где отображения перехода являются эндоморфизмом Фробениуса. Обратный предел этой системы есть R ( A ) и состоит из последовательностей ( x ₀ , x ₁ , ... ) элементов A таких, что для всех i . Отображение θ  : R ( A ) → A отправляет ( x _i ) в x ₀ . ^[8]${\displaystyle x_{i+1}^{p}=x_{i}}$

• p-кольцо
• Идеальное кольцо
• Квазиконечное поле

• «Идеальное поле», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]