Четырехугольник Ламберта

В геометрии четырехугольник Ламберта (также известный как четырехугольник Ибн аль-Хайтама–Ламберта ) ^[1]^[2] — это четырехугольник , в котором три угла прямые. Исторически четвертый угол четырехугольника Ламберта представлял значительный интерес, поскольку если можно было показать, что он прямой, то постулат параллельности Евклида можно было доказать как теорему. Теперь известно, что тип четвертого угла зависит от геометрии, в которой существует четырехугольник. В гиперболической геометрии четвертый угол острый , в евклидовой геометрии — прямой , а в эллиптической геометрии — тупой .

Четырехугольник Ламберта можно построить из четырехугольника Саккери , соединив середины основания и вершины четырехугольника Саккери. Этот отрезок перпендикулярен как основанию, так и вершине, поэтому любая половина четырехугольника Саккери является четырехугольником Ламберта.

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

В гиперболической геометрии четырехугольник Ламберта AOBF, где углы прямые , а F лежит напротив O , является острым углом , а кривизна = -1, выполняются следующие соотношения: ^[3] $\угол FAO,\угол AOB,\угол OBF$ $\угол AFB$

$\sinh AF =\sinh OB\cosh BF$

$\tanh AF=\cosh OA\tanh OB$

$\sinh BF=\sinh OA\cosh AF$

$\tanh BF=\cosh OB\tanh OA$

$\cosh OF=\cosh OA\cosh AF$

$\cosh OF=\cosh OB\cosh BF$

$\sin \angle AFB={\frac {\cosh OB}{\cosh AF}}={\frac {\cosh OA}{\cosh BF}}$ $\cos \angle AFB=\sinh OA\sinh OB=\tanh AF\tanh BF$

$\кроватка \angle AFB=\tanh OA\sinh AF =\tanh OB\sinh BF$

$\sin \angle AOF={\frac {\sinh AF}{\sinh OF}}$

$\cos \angle AOF={\frac {\tanh OA}{\tanh OF}}$

$\tan \angle AOF={\frac {\tanh AF}{\sinh OA}}$

Где гиперболические функции $\tanh,\cosh,\sinh$

Примеры

Четырехугольная фундаментальная область Ламберта в орбифолде *p222
* Симметрия 3222 с углом 60 градусов в одном из углов.	* Симметрия 4222 с углом 45 градусов в одном из углов.	Предельный четырехугольник Ламберта имеет три прямых угла и один угол в 0 градусов с идеальной вершиной в бесконечности, определяя симметрию орбифолда * ∞222 .

Смотрите также

Неевклидова геометрия

Примечания

^ Рашед, Рошди; Пападопулос, Атанас (23 октября 2017 г.). «Сферика» Менелая: ранний перевод и версия аль-Махани / аль-Харави. Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN 978-3-11-056987-2.
^ альтернативное название четырехугольник Ибн аль-Хайсама–Ламберта было предложено в Борисе Абрамовиче Розенфельде (1988), История неевклидовой геометрии: Эволюция концепции геометрического пространства , стр. 65. Springer, ISBN 0-387-96458-4 , в честь Ибн аль-Хайсама
^ Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправленное 4-е печатное издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. стр. 436. ISBN 0387906940.

Ссылки

Джордж Э. Мартин, «Основы геометрии и неевклидова плоскость» , Springer-Verlag, 1975
М. Дж. Гринберг, Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история , 4-е издание, WH Freeman, 2008.

[1] Рашед, Рошди; Пападопулос, Атанас (23 октября 2017 г.). «Сферика» Менелая: ранний перевод и версия аль-Махани / аль-Харави. Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN 978-3-11-056987-2.

[2] альтернативное название четырехугольник Ибн аль-Хайсама–Ламберта было предложено в Борисе Абрамовиче Розенфельде (1988), История неевклидовой геометрии: Эволюция концепции геометрического пространства , стр. 65. Springer, ISBN 0-387-96458-4 , в честь Ибн аль-Хайсама

[3] Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправленное 4-е печатное издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. стр. 436. ISBN 0387906940.