Гипоэллиптический оператор

В теории уравнений с частными производными — оператор с частными производными, определенный на открытом подмножестве П {\displaystyle P}

У Р н {\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n}}

называется гипоэллиптическим, если для каждого распределения, определенного на открытом подмножестве, такого, что является ( гладким ), также должно быть . ты {\displaystyle u} В У {\displaystyle V\subset U} П ты {\displaystyle Пу} С {\displaystyle C^{\infty}} ты {\displaystyle u} С {\displaystyle C^{\infty}}

Если это утверждение верно с заменой на вещественно-аналитическое , то говорят, что оно аналитически гипоэллиптическо . С {\displaystyle C^{\infty}} П {\displaystyle P}

Каждый эллиптический оператор с коэффициентами является гипоэллиптическим. В частности, лапласиан является примером гипоэллиптического оператора (лапласиан также аналитически гипоэллиптическим). Кроме того, оператор для уравнения теплопроводности ( ) С {\displaystyle C^{\infty}} П ( ты ) = ты т к Δ ты {\displaystyle P(u)=u_{t}-k\,\Delta u\,}

П = т к Δ х {\displaystyle P=\partial _{t}-k\,\Delta _{x}\,}

(где ) является гипоэллиптическим, но не эллиптическим. Однако оператор для волнового уравнения ( ) к > 0 {\displaystyle к>0} П ( ты ) = ты т т с 2 Δ ты {\displaystyle P(u)=u_{tt}-c^{2}\,\Delta u\,}

П = т 2 с 2 Δ х {\displaystyle P=\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\Delta _{x}\,}

(где ) не является гипоэллиптическим. с 0 {\displaystyle c\neq 0}

Ссылки

  • Шимакура, Норио (1992). Частные дифференциальные операторы эллиптического типа: перевод Норио Шимакура . Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд ISBN 0-8218-4556-X.
  • Егоров, Ю. В.; Шульце, Берт-Вольфганг (1997). Псевдодифференциальные операторы, особенности, приложения . Биркхойзер. ISBN 3-7643-5484-4.
  • Владимиров, ВС (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27356-0.
  • Фолланд, ГБ (2009). Анализ Фурье и его приложения . AMS. ISBN 978-0-8218-4790-9.

В данной статье использованы материалы из Hypoelliptic на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Гипоэллиптический_оператор&oldid=1117698431"