Гиперкомплексный анализ

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (February 2023) (Learn how and when to remove this message)

В математике гиперкомплексный анализ является расширением комплексного анализа на гиперкомплексные числа . Первый случай — это функции кватернионной переменной , где аргумент — кватернион (в этом случае подобласть гиперкомплексного анализа называется кватернионным анализом ). Второй случай включает функции моторной переменной , где аргументы — расщепленные комплексные числа .

В математической физике существуют гиперкомплексные системы, называемые алгебрами Клиффорда . Изучение функций с аргументами из алгебры Клиффорда называется анализом Клиффорда .

Матрицу можно считать гиперкомплексным числом. Например, изучение функций действительных матриц 2 × 2 показывает, что топология пространства гиперкомплексных чисел определяет теорию функций. Такие функции, как квадратный корень матрицы , матричная экспонента и логарифм матрицы, являются основными примерами гиперкомплексного анализа. ^[1] Теория функций диагонализируемых матриц особенно прозрачна, поскольку они имеют собственные разложения . ^[2] Предположим, что где E _i являются проекциями . Тогда для любого полинома ,${\displaystyle \textstyle T=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}E_{i}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(T)=\sum _{i=1}^{N}f(\lambda _{i})E_{i}.}$

Современная терминология для «системы гиперкомплексных чисел» — это алгебра над действительными числами , а алгебры, используемые в приложениях, часто являются банаховыми алгебрами, поскольку последовательности Коши можно считать сходящимися . Тогда теория функций обогащается последовательностями и рядами . В этом контексте расширение голоморфных функций комплексной переменной развивается как голоморфное функциональное исчисление . Гиперкомплексный анализ на банаховых алгебрах называется функциональным анализом .

• Джованни Баттиста Рицца

• Дэниел Алпей (ред.) (2006) Вейвлеты, многомасштабные системы и гиперкомплексный анализ , Springer, ISBN 9783764375881 . 
• Энрике Рамирес де Арельянон (1998) Теория операторов для комплексного и гиперкомплексного анализа , Американское математическое общество (Материалы конференции, состоявшейся в Мехико в декабре 1994 г.).
• JA Emanuello (2015) Анализ функций расщепленно-комплексных, мультикомплексных и расщепленно-кватернионных переменных и связанных с ними конформных геометрий, докторская диссертация, Университет штата Флорида
• Сорин Д. Гал (2004) Введение в геометрическую теорию функций гиперкомплексных переменных , Nova Science Publishers, ISBN 1-59033-398-5 . 
• Р. Лавика и А. Г. О'Фаррелл и И. Шорт (2007) «Обратимые отображения в группе кватернионных преобразований Мёбиуса», Математические труды Кембриджского философского общества 143:57–69.
• Ирен Сабадини и Франциск Соммен (ред.) (2011) Гиперкомплексный анализ и приложения , Birkhauser Mathematics.
• Ирен Сабадини, Майкл В. Шапиро и Ф. Соммен (редакторы) (2009) Гиперкомплексный анализ , Birkhauser ISBN 978-3-7643-9892-7 . 
• Сабадини, Соммен, Струппа (ред.) (2012) Достижения в гиперкомплексном анализе , Springer.