принцип Юма

Логический принцип

Принцип Юма или HP гласит, что число F равно числу G тогда и только тогда, когда существует взаимно-однозначное соответствие (биекция) между F и G. HP может быть формально сформулирован в системах логики второго порядка . Принцип Юма назван в честь шотландского философа Дэвида Юма и был придуман Джорджем Булосом .

HP играет центральную роль в философии математики Готтлоба Фреге . Фреге показывает, что HP и подходящие определения арифметических понятий влекут за собой все аксиомы того, что мы теперь называем арифметикой второго порядка . Этот результат известен как теорема Фреге , которая является основой философии математики, известной как неологизм .

Происхождение

Принцип Юма появляется в «Основаниях арифметики» Фреге (§63), ^[1] , где цитируется часть III книги I « Трактата о человеческой природе » Дэвида Юма (1740). Юм там излагает семь фундаментальных отношений между идеями. Относительно одного из них, пропорции в количестве или числе , Юм утверждает, что наши рассуждения о пропорции в количестве, представленные геометрией , никогда не смогут достичь «совершенной точности и правильности», поскольку ее принципы выводятся из чувственного восприятия. Он противопоставляет это рассуждениям о числе или арифметике , в которых такая точность может быть достигнута:

Алгебра и арифметика [являются] единственными науками, в которых мы можем продолжать цепь рассуждений любой степени сложности, и при этом сохранять совершенную точность и определенность. Мы обладаем точным стандартом, с помощью которого мы можем судить о равенстве и пропорции чисел; и в зависимости от того, соответствуют ли они этому стандарту или нет, мы определяем их отношения без какой-либо возможности ошибки. Когда два числа объединены таким образом, что одно всегда имеет единицу, отвечающую каждой единице другого, мы объявляем их равными ; и именно из-за отсутствия такого стандарта равенства в [пространственном] расширении геометрия едва ли может считаться совершенной и непогрешимой наукой. (I. III. I.) ^[2]

Обратите внимание на использование Юмом слова « число» в древнем смысле, для обозначения множества или коллекции вещей, а не общепринятого современного понятия «положительное целое число». Древнегреческое понятие числа ( arithmos ) — это конечное множество, состоящее из единиц. См. Аристотель , Метафизика , 1020a14 и Евклид , Элементы , Книга VII, Определение 1 и 2. Контраст между старой и современной концепцией числа подробно обсуждается в Mayberry (2000).

Влияние на теорию множеств

Принцип, согласно которому кардинальное число должно характеризоваться в терминах взаимно-однозначного соответствия, ранее использовался Георгом Кантором , чьи труды были известны Фреге . Поэтому было высказано предположение, что принцип Юма лучше называть «Принципом Кантора» или «Принципом Юма-Кантора». Но Фреге критиковал Кантора на том основании, что Кантор определяет кардинальные числа в терминах порядковых чисел , тогда как Фреге хотел дать характеристику кардинальных чисел, которая была бы независима от порядковых чисел. Однако точка зрения Кантора является той, которая заложена в современных теориях трансфинитных чисел , разработанных в аксиоматической теории множеств .

Ссылки

Андерсон, Д.; Залта, Э. (2004). «Фреге, Булос и логические объекты» (PDF) . Журнал философской логики . 33 : 1– 26. doi :10.1023/B:LOGI.0000019236.64896.fd. S2CID 6620015.
Булос, Джордж (1990). «Стандарт равенства чисел». В Булос, Г. (ред.). Значение и метод: Эссе в честь Хилари Патнэм. Cambridge University Press. стр. 261–277 . ISBN 978-0-521-36083-8.
Булос, Джордж (1998). "§II. "Фреге-исследования". Логика, логика и логика. Издательство Гарвардского университета. С. 133–342 . ISBN 978-0-674-53767-5.
Берджесс, Джон (2018) [2005]. Fixing Frege. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-18706-8.
Фреге, Готтлоб (1884). Die Grundlagen der Arithmetik : Eine logisch mathematische Untersuruchung [ Основы арифметики ]. Бреслау: Вильгельм Кебнер.
Юм, Дэвид (1739–1740). Трактат о человеческой природе .
Мейберри, Джон П. (2000). Основы математики в теории множеств. Энциклопедия математики и ее приложений. Том 83. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-77034-7.

Цитаты

^ "IV. Der Begriff der Anzahl § 63. Die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung als solches. Logisches Bedenken, dass die Gleichheit für diesen Fall besonders erklärt wird" . Фреге 1884 г. - через Проект Гутенберг. §63. Ein solches Mittel nennt schon Hume: «Wenn zwei Zahlen so combinirt werden, dass die eine immer eine Einheit Hat, die jeder Einheit der andern entspricht, so geben wir sie als gleich an».
^ "Часть III. О знании и вероятности: Раздел I. О знании". Юм 1739–1740 – через Проект Гутенберг.

Внешние ссылки

Стэнфордская энциклопедия философии : «Логика, теорема и основания арифметики Фреге» Эдварда Залты .
«Логические и метафизические основы классической математики».
Arche: Центр философии логики, языка, математики и разума в Университете Сент-Эндрюс.

[1] "IV. Der Begriff der Anzahl § 63. Die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung als solches. Logisches Bedenken, dass die Gleichheit für diesen Fall besonders erklärt wird" . Фреге 1884 г. - через Проект Гутенберг. §63. Ein solches Mittel nennt schon Hume: «Wenn zwei Zahlen so combinirt werden, dass die eine immer eine Einheit Hat, die jeder Einheit der andern entspricht, so geben wir sie als gleich an».

[2] "Часть III. О знании и вероятности: Раздел I. О знании". Юм 1739–1740 – через Проект Гутенберг.