Распределение Хольцмарка
Хольцмарк
Функция плотности вероятности
Симметричные устойчивые распределения
Симметричные α -устойчивые распределения с единичным масштабным коэффициентом; α = 1,5 (синяя линия) представляет собой распределение Хольцмарка
Кумулятивная функция распределения
CDF для симметричных α-устойчивых распределений; α=3/2 представляет распределение Хольцмарка
Параметры

c ∈ (0, ∞) — параметр масштаба

μ ∈ (−∞, ∞) — параметр местоположения
Поддерживатьх ∈ Р
PDFвыражается через гипергеометрические функции ; см. текст
Иметь в видуμ
Медианаμ
Режимμ
Дисперсиябесконечный
Асимметриянеопределенный
Избыточный эксцесснеопределенный
МГФнеопределенный
CF эксп ⁡ [   я т μ − | с т | 3 / 2   ] {\displaystyle \exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{3/2}~\right]}

(Одномерное) распределение Хольцмарка является непрерывным распределением вероятностей . Распределение Хольцмарка является частным случаем устойчивого распределения с индексом устойчивости или параметром формы, равным 3/2, и параметром асимметрии, равным нулю. Поскольку равно нулю, распределение симметрично и, таким образом, является примером симметричного альфа-устойчивого распределения. Распределение Хольцмарка является одним из немногих примеров устойчивого распределения, для которого известно выражение в замкнутой форме функции плотности вероятности . Однако его функция плотности вероятности не выражается в терминах элементарных функций ; скорее, функция плотности вероятности выражается в терминах гипергеометрических функций . α {\displaystyle \альфа} β {\displaystyle \бета} β {\displaystyle \бета}

Распределение Хольцмарка имеет приложения в физике плазмы и астрофизике. [1] В 1919 году норвежский физик Йохан Петер Хольцмарк предложил распределение в качестве модели для флуктуирующих полей в плазме из-за движения заряженных частиц. [2] Оно также применимо к другим типам кулоновских сил, в частности к моделированию гравитирующих тел, и поэтому важно в астрофизике. [3] [4]

Характерная функция

Характеристическая функция симметричного устойчивого распределения имеет вид:

φ ( т ; μ , с ) = эксп ⁡ [   я т μ − | с т | α   ] , {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{\alpha }~\right],}

где — параметр формы, или индекс устойчивости, — параметр местоположения , а c — параметр масштаба . α {\displaystyle \альфа} μ {\displaystyle \мю}

Так как распределение Хольцмарка имеет свою характеристическую функцию: [5] α = 3 / 2 , {\displaystyle \альфа =3/2,}

φ ( т ; μ , с ) = эксп ⁡ [   я т μ − | с т | 3 / 2   ] . {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{3/2}~\right].}

Поскольку распределение Хольцмарка является устойчивым распределением с α > 1 , представляет собой среднее значение распределения. [6] [7] Поскольку β = 0 , также представляет собой медиану и моду распределения. И поскольку α < 2 , дисперсия распределения Хольцмарка бесконечна. [6] Все более высокие моменты распределения также бесконечны. [6] Как и в других устойчивых распределениях (кроме нормального распределения), поскольку дисперсия бесконечна, дисперсия в распределении отражается параметром масштаба , c. Альтернативный подход к описанию дисперсии распределения заключается в использовании дробных моментов. [6] μ {\displaystyle \мю} μ {\displaystyle \мю}

Функция плотности вероятности

В общем случае функция плотности вероятности f ( x ) непрерывного распределения вероятностей может быть выведена из ее характеристической функции следующим образом:

ф ( х ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ φ ( т ) е − я х т г т . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.}

Большинство устойчивых распределений не имеют известного замкнутого выражения для своих функций плотности вероятности. Только нормальное распределение , распределение Коши и распределение Леви имеют известные замкнутые выражения в терминах элементарных функций . [1] Распределение Хольцмарка является одним из двух симметричных устойчивых распределений, имеющих известное замкнутое выражение в терминах гипергеометрических функций . [1] Когда равно 0, а параметр масштаба равен 1, распределение Хольцмарка имеет функцию плотности вероятности: μ {\displaystyle \мю}

ф ( х ; 0 , 1 ) = 1 π Г ( 5 3 ) 2 Ф 3 ( 5 12 , 11 12 ; 1 3 , 1 2 , 5 6 ; − 4 х 6 729 ) − х 2 3 π 3 Ф 4 ( 3 4 , 1 , 5 4 ; 2 3 , 5 6 , 7 6 , 4 3 ; − 4 х 6 729 ) + 7 х 4 81 π Г ( 4 3 ) 2 Ф 3 ( 13 12 , 19 12 ; 7 6 , 3 2 , 5 3 ; − 4 х 6 729 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={1 \over \pi }\,\Gamma \left({5 \over 3}\right){_{2}F_{3}}\!\left({5 \over 12},{11 \over 12};{1 \over 3},{1 \over 2},{5 \over 6};-{4x^{6} \over 729}\right)\\&{}\quad {}-{x^{2} \over 3\pi }\,{_{3}F_{4}}\!\left({3 \over 4},{1},{5 \over 4};{2 \over 3},{5 \over 6},{7 \over 6},{4 \over 3};-{4x^{6} \over 729}\right)\\&{}\quad {}+{7x^{4} \over 81\pi }\,\Gamma \left({4 \over 3}\right){_{2}F_{3}}\!\left({13 \over 12},{19 \over 12};{7 \over 6},{3 \over 2},{5 \over 3};-{4x^{6} \over 729}\right),\end{aligned}}}

где — гамма-функция , а — гипергеометрическая функция . [1] Также имеется [8] Γ ( x ) {\displaystyle {\Gamma (x)}} m F n ( ) {\displaystyle \;_{m}F_{n}()}

f ( x ; 0 , 1 ) = − x 2 6 π [   2 F 2 ( 1 , 3 2 ; 4 3 , 5 3 ; − 4 i x 3 27 ) +   2 F 2 ( 1 , 3 2 ; 4 3 , 5 3 ; 4 i x 3 27 ) ] + 4 3 × 3 2 / 3 [ B i ′ ( − x 2 3 × 3 1 / 3 ) cos ⁡ ( 2 x 3 27 ) + x 3 2 / 3   B i ( − x 2 3 × 3 1 / 3 ) sin ⁡ ( 2 x 3 27 ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {-x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)+~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)\right]\\&+{\frac {4}{3\times 3^{2/3}}}\left[\mathrm {Bi} '\left(-{\frac {x^{2}}{3\times 3^{1/3}}}\right)\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+{\frac {x}{3^{2/3}}}~\mathrm {Bi} \left(-{\frac {x^{2}}{3\times 3^{1/3}}}\right)\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right],\end{aligned}}}

где — функция Эйри второго рода и ее производная. Аргументы функций — чисто мнимые комплексные числа, но сумма двух функций — вещественная. Для положительных функция связана с функциями Бесселя дробного порядка и , а ее производная — с функциями Бесселя дробного порядка и . Поэтому можно записать [8] B i {\displaystyle \mathrm {Bi} } B i ′ {\displaystyle \mathrm {Bi} '} 2 F 2 {\displaystyle _{2}F_{2}} x {\displaystyle x} B i ( − x ) {\displaystyle \mathrm {Bi} (-x)} J − 1 / 3 {\displaystyle J_{-1/3}} J 1 / 3 {\displaystyle J_{1/3}} J − 2 / 3 {\displaystyle J_{-2/3}} J 2 / 3 {\displaystyle J_{2/3}}

f ( x ; 0 , 1 ) = 4 x 2 27 3 { cos ⁡ ( 2 x 3 27 ) [ J − 2 / 3 ( 2 x 3 27 ) + J 2 / 3 ( 2 x 3 27 ) ] + sin ⁡ ( 2 x 3 27 ) [ J − 1 / 3 ( 2 x 3 27 ) − J 1 / 3 ( 2 x 3 27 ) ] } − x 2 6 π [   2 F 2 ( 1 , 3 2 ; 4 3 , 5 3 ; − 4 i x 3 27 ) +   2 F 2 ( 1 , 3 2 ; 4 3 , 5 3 ; 4 i x 3 27 ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {4x^{2}}{27{\sqrt {3}}}}\left\{\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-2/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+J_{2/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right]+\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-1/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right]\right\}\\&-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)+~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)\right].\end{aligned}}}

Ссылки

  1. ^ abcd Ли, WH (2010). Непрерывные и дискретные свойства стохастических процессов (PDF) (диссертация). Ноттингемский университет . С.  37–39 .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]
  2. ^ Хольцмарк, Дж. (1919). «Uber die Verbreiterung von Spektrallinien». Аннален дер Физик . 363 (7): 577–630 . Бибкод : 1919АнП...363..577H. дои : 10.1002/andp.19193630702.
  3. ^ Чандрасекар, С.; Дж. фон Нейман (1942). «Статистика гравитационного поля, возникающего из случайного распределения звезд. I. Скорость флуктуаций». The Astrophysical Journal . 95 : 489. Bibcode : 1942ApJ....95..489C. doi : 10.1086/144420. ISSN  0004-637X.
  4. ^ Чандрасекар, С. (1943-01-01). «Стохастические проблемы в физике и астрономии». Reviews of Modern Physics . 15 (1): 1– 89. Bibcode : 1943RvMP...15....1C. doi : 10.1103/RevModPhys.15.1.
  5. ^ Золотарев, В. М. (1986). Одномерные устойчивые распределения . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 1, 41. ISBN 978-0-8218-4519-6. Хольцмарк.
  6. ^ abcd Nolan, JP (2008). "Основные свойства одномерных устойчивых распределений" (PDF) . Устойчивые распределения: модели для данных с тяжелыми хвостами . стр. 3 , 15–16 . Получено 2011-02-06 .
  7. ^ Nolan, JP (2003). «Моделирование финансовых данных». В Rachev, ST (ред.). Справочник по распределениям с тяжелыми хвостами в финансах . Амстердам: Elsevier . С. 111–112. ISBN 978-0-444-50896-6.
  8. ^ ab Pain, Jean-Christophe (2020). «Выражение функции Хольцмарка в терминах гипергеометрических функций и функций Эйри ». Eur. Phys. J. Plus . 135 : 236. arXiv : 2001.11893 . doi : 10.1140/epjp/s13360-020-00248-4. S2CID  211030564. 2 F 2 {\displaystyle _{2}F_{2}} B i {\displaystyle \mathrm {Bi} }
  • Хаммер, Д. Г. (1986). «Рациональные аппроксимации для распределения Хольцмарка, его кумулятивного и производного». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 36 : 1– 5. Bibcode :1986JQSRT..36....1H. doi :10.1016/0022-4073(86)90011-7.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Holtsmark_distribution&oldid=1240983597"