Критерий урожайности холма

Критерий текучести Хилла, разработанный Родни Хиллом , является одним из нескольких критериев текучести для описания анизотропных пластических деформаций. Самая ранняя версия была простым расширением критерия текучести фон Мизеса и имела квадратичную форму. Эта модель была позже обобщена путем учета показателя m . Вариации этих критериев широко используются для металлов, полимеров и некоторых композитов.

Квадратичный критерий текучести Хилла ^[1] имеет вид

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}=1~.}$

Здесь F, G, H, L, M, N — константы, которые должны быть определены экспериментально и являются напряжениями. Квадратичный критерий текучести Хилла зависит только от девиаторных напряжений и не зависит от давления. Он предсказывает одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.${\displaystyle \сигма _{ij}}$

Если предположить, что оси анизотропии материала ортогональны, то можно записать

${\displaystyle (G+H)~(\sigma _{1}^{y})^{2}=1~;~~(F+H)~(\sigma _{2}^{y})^{2}=1~;~~(F+G)~(\sigma _{3}^{y})^{2}=1}$

где - нормальные напряжения текучести относительно осей анизотропии. Поэтому имеем${\displaystyle \sigma _{1}^{y},\sigma _{2}^{y},\sigma _{3}^{y}}$

${\displaystyle F={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]}$

${\displaystyle G={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]}$

${\displaystyle H={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]}$

Аналогично, если – предел текучести при сдвиге (относительно осей анизотропии), то имеем${\displaystyle \tau _{12}^{y},\tau _{23}^{y},\tau _{31}^{y}}$

${\displaystyle L={\cfrac {1}{2~(\tau _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2~(\tau _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2~(\tau _{12}^{y})^{2}}}}$

Квадратичный критерий текучести Хилла для тонких прокатанных пластин (состояние плоского напряженного состояния) можно выразить как

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}$

где предполагается, что главные напряжения направлены вдоль осей анизотропии в направлении прокатки и перпендикулярны направлению прокатки, , — значение R в направлении прокатки, — значение R , перпендикулярное направлению прокатки.${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{3}=0}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{90}}$

Для частного случая поперечной изотропии имеем и получаем${\displaystyle R=R_{0}=R_{90}}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R}{1+R}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}$

Вывод критерия Хилла для плоского напряженного состояния

Для ситуации, когда главные напряжения совпадают с направлениями анизотропии, имеем ${\displaystyle f:=F(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+G(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}+H(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}-1=0\,}$ где главные напряжения. Если мы предположим связанное правило потока, то имеем${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{i}^{p}={\dot {\lambda }}~{\cfrac {\partial f}{\partial \sigma _{i}}}\qquad \implies \qquad {\cfrac {d\varepsilon _{i}^{p}}{d\lambda }}={\cfrac {\partial f}{\partial \sigma _{i}}}~.}$ Это подразумевает, что ${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\lambda }}&=2(G+H)\sigma _{1}-2H\sigma _{2}-2G\sigma _{3}\\{\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+H)\sigma _{2}-2H\sigma _{1}-2F\sigma _{3}\\{\cfrac {d\varepsilon _{3}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+G)\sigma _{3}-2G\sigma _{1}-2F\sigma _{2}~.\end{aligned}}}$ Для плоского напряжения , которое дает${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\lambda }}&=2(G+H)\sigma _{1}-2H\sigma _{2}\\{\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+H)\sigma _{2}-2H\sigma _{1}\\{\cfrac {d\varepsilon _{3}^{p}}{d\lambda }}&=-2G\sigma _{1}-2F\sigma _{2}~.\end{aligned}}}$ Значение R определяется как отношение пластических деформаций в плоскости и вне плоскости при одноосном напряжении . Величина представляет собой отношение пластических деформаций при одноосном напряжении . Следовательно, мы имеем${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle R_{90}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle R_{0}={\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\varepsilon _{3}^{p}}}={\cfrac {H}{G}}~;~~R_{90}={\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\varepsilon _{3}^{p}}}={\cfrac {H}{F}}~.}$ Тогда, используя и , условие текучести можно записать как${\displaystyle H=R_{0}G}$${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle f:=F\sigma _{2}^{2}+G\sigma _{1}^{2}+R_{0}G(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}-1=0\,}$ что в свою очередь может быть выражено как ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+{\cfrac {F+R_{0}G}{G(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}={\cfrac {1}{(1+R_{0})G}}~.}$ Это имеет ту же форму, что и требуемое выражение. Все, что нам нужно сделать, это выразить в терминах . Напомним, что,${\displaystyle F,G}$${\displaystyle \sigma _{1}^{y}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]\\G&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]\\H&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]\end{aligned}}}$ Мы можем использовать их для получения ${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}={\cfrac {H}{G}}&\implies (1+R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-(1+R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}=(1-R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\\R_{90}={\cfrac {H}{F}}&\implies (1+R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-(1-R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}=(1+R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\end{aligned}}}$ Решение дает нам${\displaystyle {\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}},{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}}$ ${\displaystyle {\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}={\cfrac {R_{0}+R_{90}}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}~;~~{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}={\cfrac {R_{0}(1+R_{90})}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}}$ Возвращаясь к выражениям, получаем${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle F={\cfrac {R_{0}}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}~;~~G={\cfrac {1}{1+R_{0}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}}$ что подразумевает, что ${\displaystyle {\cfrac {1}{G(1+R_{0})}}=(\sigma _{1}^{y})^{2}~;~~{\cfrac {F+R_{0}G}{G(1+R_{0})}}={\cfrac {R_{0}(1+R_{90})}{R_{90}(1+R_{0})}}~.}$ Следовательно, плосконапряженная форма квадратичного критерия текучести Хилла может быть выражена как ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}$

Обобщенный критерий текучести Хилла ^[2] имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}&+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+M|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}=\sigma _{y}^{m}~.\end{aligned}}}$

где — главные напряжения (направления которых совпадают с направлениями анизотропии), — предел текучести, а F, G, H, L, M, N — константы. Значение m определяется степенью анизотропии материала и должно быть больше 1, чтобы обеспечить выпуклость поверхности текучести.${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$

Для поперечно-изотропных материалов, где плоскость симметрии является плоскостью, обобщенный критерий текучести Хилла сводится к (при и )${\displaystyle 1-2}$${\displaystyle F=G}$${\displaystyle L=M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f:=&F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+L|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0\end{aligned}}}$

Значение R или коэффициент Ланкфорда можно определить, рассмотрев ситуацию, когда . Значение R тогда определяется как${\displaystyle \sigma _{1}>(\sigma _{2}=\sigma _{3}=0)}$

${\displaystyle R={\cfrac {(2^{m-1}+2)L-N+H}{(2^{m-1}-1)L+2N+F}}~.}$

В условиях плоского напряженного состояния и при некоторых допущениях обобщенный критерий Хилла может принимать несколько форм. ^[3]

• Случай 1: ${\displaystyle L=0,H=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})-{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Случай 2: ${\displaystyle N=0,F=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(1-2^{m-1})(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-{\cfrac {1}{(1-2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Случай 3: ${\displaystyle N=0,H=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|\sigma _{1}|^{m}-|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Случай 4: ${\displaystyle L=0,F=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{2(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+{\cfrac {1}{2(1+R)}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Случай 5: Это критерий доходности Хосфорда .${\displaystyle L=0,N=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

При использовании этих форм обобщенного критерия текучести Хилла следует проявлять осторожность, поскольку поверхности текучести становятся вогнутыми (иногда даже неограниченными) для определенных комбинаций и . ^[4]${\displaystyle R}$${\displaystyle m}$

В 1993 году Хилл предложил другой критерий текучести ^[5] для задач плоского напряжения с плоской анизотропией. Критерий Хилла93 имеет вид

${\displaystyle \left({\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{0}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{90}}}\right)^{2}+\left[(p+q-c)-{\cfrac {p\sigma _{1}+q\sigma _{2}}{\sigma _{b}}}\right]\left({\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{0}\sigma _{90}}}\right)=1}$

где — предел текучести при одноосном растяжении в направлении прокатки, — предел текучести при одноосном растяжении в направлении, нормальном к направлению прокатки, — предел текучести при равномерном двухосном растяжении, а — параметры, определяемые как${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma _{90}}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle c,p,q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\cfrac {\sigma _{0}}{\sigma _{90}}}+{\cfrac {\sigma _{90}}{\sigma _{0}}}-{\cfrac {\sigma _{0}\sigma _{90}}{\sigma _{b}^{2}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~p&={\cfrac {2R_{0}(\sigma _{b}-\sigma _{90})}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}-{\cfrac {2R_{90}\sigma _{b}}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{0}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~q&={\cfrac {2R_{90}(\sigma _{b}-\sigma _{0})}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}-{\cfrac {2R_{0}\sigma _{b}}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{90}}}\end{aligned}}}$

и — значение R для одноосного растяжения в направлении прокатки, и — значение R для одноосного растяжения в направлении плоскости, перпендикулярном направлению прокатки.${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{90}}$

Первоначальные версии критерия текучести Хилла были разработаны для материалов, не имеющих поверхностей текучести, зависящих от давления, которые необходимы для моделирования полимеров и пен .

Расширением, учитывающим зависимость от давления, является модель Кадделла–Рагхавы–Аткинса (CRA) ^[6] , которая имеет вид

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}=1~.}$

Другим зависящим от давления расширением квадратичного критерия текучести Хилла, имеющим форму, похожую на критерий текучести Бреслера-Пистера, является критерий текучести Дешпанде, Флека и Эшби (DFA) ^[7] для сотовых структур (используемых в многослойных композитных конструкциях). Этот критерий текучести имеет вид

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+K(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})^{2}=1~.}$

• Критерий текучести Логана-Хосфорда для анизотропной пластичности

• Критерии текучести для алюминия