Критерий текучести Бреслера–Пистера

Часть серии статей о
Механика сплошной среды
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi {dx}}}$ Законы диффузии Фика
Законы Консервации Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус–Дюгем (энтропия)
Механика твёрдого тела Деформация Эластичность линейный Пластичность закон Гука Стресс Напряжение Конечная деформация Бесконечно малая деформация Совместимость Изгиб Контактная механика фрикционный Теория разрушения материалов Механика разрушения
Механика жидкости Жидкости Статика  · Динамика Принцип Архимеда  · Принцип Бернулли Уравнения Навье–Стокса Уравнение Пуазейля  · Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский  · неньютоновский ) Плавучесть  · Смешивание  · Давление Жидкости Адгезия Капиллярное действие Хроматография Когезия (химия) Поверхностное натяжение Газы Атмосфера Закон Бойля Закон Шарля Комбинированный газовый закон Закон Фика Закон Гей-Люссака Закон Грэма плазма
Реология Вязкоупругость Реометрия Реометр Умные жидкости Электрореологический Магнитореологический Ферромагнитные жидкости
Ученые Бернулли Бойл Коши Чарльз Эйлер Фик Гей-Люссак Грэм Гук Ньютон Навье Нолл Паскаль Стокса Трусделл
в т е

Критерий текучести Бреслера–Пистера ^[1] — это функция, которая изначально была разработана для прогнозирования прочности бетона при многоосных напряженных состояниях. Этот критерий текучести является расширением критерия текучести Друкера–Прагера и может быть выражен через инварианты напряжений как

${\displaystyle {\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}+C~I_{1}^{2}}$

где — первый инвариант напряжения Коши, — второй инвариант девиаторной части напряжения Коши, — материальные константы.${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle A,B,C}$

Критерии текучести этой формы также использовались для полипропилена ^[2] и полимерных пен . ^[3]

Параметры должны быть выбраны с осторожностью для получения поверхностей текучести разумной формы . Если — предел текучести при одноосном сжатии, — предел текучести при одноосном растяжении, а — предел текучести при двуосном сжатии, то параметры можно выразить как${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle \sigma _{c}}$${\displaystyle \sigma _{t}}$${\displaystyle \sigma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{{\sqrt {3}}(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\C=&\left({\cfrac {1}{{\sqrt {3}}(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\A=&{\cfrac {\sigma _{c}}{\sqrt {3}}}+B\sigma _{c}-C\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

Вывод выражений для параметров A, B, C

Критерий текучести Бреслера-Пистера в терминах главных напряжений имеет вид${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {6}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-A-B~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-C~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}=0~.}$ Если - предел текучести при одноосном растяжении, то${\displaystyle \sigma _{t}=\sigma _{1}}$ ${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}-A-B\sigma _{t}-C\sigma _{t}^{2}=0~.}$ Если - предел текучести при одноосном сжатии, то${\displaystyle -\sigma _{c}=\sigma _{1}}$ ${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}-A+B\sigma _{c}-C\sigma _{c}^{2}=0~.}$ Если - предел текучести при равномернoдвухосном сжатии, то${\displaystyle -\sigma _{b}=\sigma _{1}=\sigma _{2}}$ ${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{b}-A+2B\sigma _{b}-4C\sigma _{b}^{2}=0~.}$ Решение этих трех уравнений (с использованием Maple) дает нам${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}A:=&{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~{\cfrac {\sigma _{c}\sigma _{t}\sigma _{b}(\sigma _{t}+8\sigma _{b}-3\sigma _{c})}{(\sigma _{c}+\sigma _{t})(2\sigma _{b}-\sigma _{c})(2\sigma _{b}+\sigma _{t})}}\\B:=&{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~{\cfrac {(\sigma _{c}-\sigma _{t})(\sigma _{b}\sigma _{c}+\sigma _{b}\sigma _{t}-\sigma _{c}\sigma _{t}-4\sigma _{b}^{2})}{(\sigma _{c}+\sigma _{t})(2\sigma _{b}-\sigma _{c})(2\sigma _{b}+\sigma _{t})}}\\C:=&{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~{\cfrac {3\sigma _{b}\sigma _{t}-\sigma _{b}\sigma _{c}-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{(\sigma _{c}+\sigma _{t})(2\sigma _{b}-\sigma _{c})(2\sigma _{b}+\sigma _{t})}}\end{aligned}}}$

В терминах эквивалентного напряжения ( ) и среднего напряжения ( ) критерий текучести Бреслера–Пистера можно записать как${\displaystyle \sigma _{e}}$${\displaystyle \sigma _{m}}$

${\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m}+c~\sigma _{m}^{2}~;~~\sigma _{e}={\sqrt {3J_{2}}}~,~~\sigma _{m}=I_{1}/3~.}$

Критерий текучести Бреслера–Пистера для бетона в форме Этсе-Виллама ^{[4] можно выразить как}

${\displaystyle {\sqrt {J_{2}}}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~I_{1}-{\cfrac {1}{2{\sqrt {3}}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}}{\sigma _{c}^{2}-\sigma _{t}^{2}}}\right)~I_{1}^{2}}$

где — предел текучести при одноосном сжатии, — предел текучести при одноосном растяжении.${\displaystyle \sigma _{c}}$${\displaystyle \sigma _{t}}$

Критерий текучести GAZT ^[5] для пластического разрушения пен также имеет форму, аналогичную критерию текучести Бреслера–Пистера, и может быть выражен как

${\displaystyle {\sqrt {J_{2}}}={\begin{cases}{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}-0.03{\sqrt {3}}{\cfrac {\rho }{\rho _{m}~\sigma _{t}}}~I_{1}^{2}\\-{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}+0.03{\sqrt {3}}{\cfrac {\rho }{\rho _{m}~\sigma _{c}}}~I_{1}^{2}\end{cases}}}$

где - плотность пены, - плотность материала матрицы.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho _{m}}$

• Поверхность текучести
• Выход (инжиниринг)
• Пластичность (физика)