Теорема о базисе Гильберта
Полиномиальные идеалы конечно порождены

В математике теорема Гильберта о базисе утверждает, что каждый идеал кольца многочленов над полем имеет конечное порождающее множество (конечный базис в терминологии Гильберта).

В современной алгебре кольца , идеалы которых обладают этим свойством, называются нётеровыми кольцами . Каждое поле и кольцо целых чисел являются нётеровыми кольцами. Таким образом, теорему можно обобщить и переформулировать так: каждое кольцо многочленов над нётеровым кольцом также является нётеровым .

Теорема была сформулирована и доказана Давидом Гильбертом в 1890 году в его основополагающей статье по теории инвариантов [1] , где он решил несколько проблем с инвариантами. В этой статье он также доказал две другие фундаментальные теоремы о многочленах: Nullstellensatz (теорема о нулевом локусе) и теорему о сизигиях (теорема об отношениях). Эти три теоремы стали отправной точкой интерпретации алгебраической геометрии в терминах коммутативной алгебры . В частности, базисная теорема подразумевает, что каждое алгебраическое множество является пересечением конечного числа гиперповерхностей .

Другой аспект этой статьи оказал большое влияние на математику 20-го века; это систематическое использование неконструктивных методов . Например, теорема о базисе утверждает, что каждый идеал имеет конечный набор генераторов, но оригинальное доказательство не дает никакого способа вычислить его для конкретного идеала. Этот подход был настолько ошеломляющим для математиков того времени, что первая версия статьи была отвергнута Полом Горданом , крупнейшим специалистом по инвариантам того времени, с комментарием «Это не математика. Это теология». [2] Позже он признал: «Я убедил себя, что даже теология имеет свои достоинства». [3]

Заявление

Если есть кольцо , то пусть обозначает кольцо многочленов от неопределенности над . Гильберт доказал, что если "не слишком велико", в том смысле, что если нётерово, то же самое должно быть верно и для . Формально, Р {\displaystyle R} Р [ Х ] {\displaystyle R[X]} Х {\displaystyle X} Р {\displaystyle R} Р {\displaystyle R} Р {\displaystyle R} Р [ Х ] {\displaystyle R[X]}

Теорема Гильберта о базисе. Если — нётерово кольцо, то — нётерово кольцо. [4] Р {\displaystyle R} Р [ Х ] {\displaystyle R[X]}

Следствие. Если — нётерово кольцо, то — нётерово кольцо. Р {\displaystyle R} Р [ Х 1 , … , Х н ] {\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}

Гильберт доказал теорему (для частного случая многомерных многочленов над полем ) в ходе своего доказательства конечной порожденности колец инвариантов . [1] Теорема интерпретируется в алгебраической геометрии следующим образом: каждое алгебраическое множество является множеством общих нулей конечного числа многочленов.

Доказательство Гильберта крайне неконструктивно : оно осуществляется индукцией по числу переменных, и на каждом шаге индукции используется неконструктивное доказательство для одной переменной меньше. Введенные более восьмидесяти лет спустя, базисы Грёбнера допускают прямое доказательство, которое является максимально конструктивным: базисы Грёбнера создают алгоритм для проверки принадлежности многочлена идеалу, порожденному другими многочленами. Таким образом, имея бесконечную последовательность многочленов, можно алгоритмически построить список тех многочленов, которые не принадлежат идеалу, порожденному предыдущими. Теория базиса Грёбнера подразумевает, что этот список обязательно конечен и, таким образом, является конечным базисом идеала. Однако для решения вопроса о полноте списка необходимо рассмотреть каждый элемент бесконечной последовательности, что невозможно сделать за конечное время, отведенное алгоритму.

Доказательство

Теорема. Если — левое (соответственно правое) нётерово кольцо , то кольцо многочленов также является левым (соответственно правым) нётеровым кольцом. Р {\displaystyle R} Р [ Х ] {\displaystyle R[X]}

Замечание. Приведем два доказательства, в обоих рассматривается только «левый» случай; доказательство для правого случая аналогично.

Первое доказательство

Предположим, что — неконечно порожденный левый идеал. Тогда по рекурсии (используя аксиому зависимого выбора ) существует последовательность многочленов такая, что если — левый идеал, порожденный , то имеет минимальную степень . По построению — неубывающая последовательность натуральных чисел . Пусть — старший коэффициент , а — левый идеал в , порожденный . Поскольку — нётерова, то цепочка идеалов а ⊆ Р [ Х ] {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]} { ф 0 , ф 1 , … } {\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}} б н {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}} ф 0 , … , ф н − 1 {\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}} ф н ∈ а ∖ б н {\displaystyle f_{n}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{n}} { deg ⁡ ( f 0 ) , deg ⁡ ( f 1 ) , … } {\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\ldots \}} a n {\displaystyle a_{n}} f n {\displaystyle f_{n}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} R {\displaystyle R} a 0 , a 1 , … {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots } R {\displaystyle R}

( a 0 ) ⊂ ( a 0 , a 1 ) ⊂ ( a 0 , a 1 , a 2 ) ⊂ ⋯ {\displaystyle (a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots }

должно завершиться. Таким образом, для некоторого целого числа . Так, в частности, b = ( a 0 , … , a N − 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {b}}=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})} N {\displaystyle N}

a N = ∑ i < N u i a i , u i ∈ R . {\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.}

Теперь рассмотрим

g = ∑ i < N u i X deg ⁡ ( f N ) − deg ⁡ ( f i ) f i , {\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}X^{\deg(f_{N})-\deg(f_{i})}f_{i},}

старший член которого равен члену ; более того, . Однако, , что означает, что имеет степень меньше , что противоречит минимальности. f N {\displaystyle f_{N}} g ∈ b N {\displaystyle g\in {\mathfrak {b}}_{N}} f N ∉ b N {\displaystyle f_{N}\notin {\mathfrak {b}}_{N}} f N − g ∈ a ∖ b N {\displaystyle f_{N}-g\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{N}} f N {\displaystyle f_{N}}

Второе доказательство

Пусть будет левым идеалом. Пусть будет множеством старших коэффициентов членов . Очевидно, что это левый идеал над , и поэтому он конечно порождается старшими коэффициентами конечного числа членов ; скажем , . Пусть будет максимумом множества , и пусть будет множеством старших коэффициентов членов , степень которого равна . Как и прежде, являются левыми идеалами над , и поэтому он конечно порождается старшими коэффициентами конечного числа членов , скажем, a ⊆ R [ X ] {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} R {\displaystyle R} a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} f 0 , … , f N − 1 {\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{N-1}} d {\displaystyle d} { deg ⁡ ( f 0 ) , … , deg ⁡ ( f N − 1 ) } {\displaystyle \{\deg(f_{0}),\ldots ,\deg(f_{N-1})\}} b k {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}} a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} ≤ k {\displaystyle \leq k} b k {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}} R {\displaystyle R} a {\displaystyle {\mathfrak {a}}}

f 0 ( k ) , … , f N ( k ) − 1 ( k ) {\displaystyle f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}}

со степенями . Теперь пусть будет левым идеалом, порожденным: ≤ k {\displaystyle \leq k} a ∗ ⊆ R [ X ] {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq R[X]}

{ f i , f j ( k ) :   i < N , j < N ( k ) , k < d } . {\displaystyle \left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\,:\ i<N,\,j<N^{(k)},\,k<d\right\}\!\!\;.}

Мы имеем и утверждаем также . Предположим ради противоречия, что это не так. Тогда пусть будет минимальной степени, и обозначим ее старший коэффициент через . a ∗ ⊆ a {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq {\mathfrak {a}}} a ⊆ a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{*}} h ∈ a ∖ a ∗ {\displaystyle h\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}} a {\displaystyle a}

Случай 1: . Независимо от этого условия, имеем , поэтому левая линейная комбинация deg ⁡ ( h ) ≥ d {\displaystyle \deg(h)\geq d} a ∈ b {\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}} a {\displaystyle a}
a = ∑ j u j a j {\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}}
коэффициентов . Рассмотрим f j {\displaystyle f_{j}}
h 0 = ∑ j u j X deg ⁡ ( h ) − deg ⁡ ( f j ) f j , {\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},}
который имеет тот же ведущий член, что и ; причем , тогда как . Следовательно , и , что противоречит минимальности. h {\displaystyle h} h 0 ∈ a ∗ {\displaystyle h_{0}\in {\mathfrak {a}}^{*}} h ∉ a ∗ {\displaystyle h\notin {\mathfrak {a}}^{*}} h − h 0 ∈ a ∖ a ∗ {\displaystyle h-h_{0}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}} deg ⁡ ( h − h 0 ) < deg ⁡ ( h ) {\displaystyle \deg(h-h_{0})<\deg(h)}
Случай 2: Тогда также есть левая линейная комбинация deg ⁡ ( h ) = k < d {\displaystyle \deg(h)=k<d} a ∈ b k {\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}_{k}} a {\displaystyle a}
a = ∑ j u j a j ( k ) {\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{(k)}}
ведущих коэффициентов . Учитывая f j ( k ) {\displaystyle f_{j}^{(k)}}
h 0 = ∑ j u j X deg ⁡ ( h ) − deg ⁡ ( f j ( k ) ) f j ( k ) , {\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}^{(k)},}
мы получаем такое же противоречие, как и в случае 1.

Таким образом, наше утверждение верно и является конечно порожденным. a = a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{*}}

Обратите внимание, что единственной причиной, по которой нам пришлось разделить случай на два, было необходимость гарантировать, что степени умножения множителей в конструкциях были неотрицательными. X {\displaystyle X}

Приложения

Пусть — нётерово коммутативное кольцо . Теорема Гильберта о базисе имеет некоторые непосредственные следствия . R {\displaystyle R}

  1. По индукции мы видим, что это также будет нётерово. R [ X 0 , … , X n − 1 ] {\displaystyle R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}
  2. Поскольку любое аффинное многообразие над (т. е. геометрическое место набора многочленов) может быть записано как геометрическое место идеала и далее как геометрическое место его образующих, то отсюда следует, что каждое аффинное многообразие является геометрическим местом конечного числа многочленов — т. е. пересечением конечного числа гиперповерхностей . R n {\displaystyle R^{n}} a ⊂ R [ X 0 , … , X n − 1 ] {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}
  3. Если - конечно-порожденная -алгебра , то мы знаем, что , где - идеал. Из теоремы о базисе следует, что должна быть конечно-порожденной, скажем , т.е. конечно -представимой . A {\displaystyle A} R {\displaystyle R} A ≃ R [ X 0 , … , X n − 1 ] / a {\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}} a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} a = ( p 0 , … , p N − 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})} A {\displaystyle A}

Формальные доказательства

Формальные доказательства базисной теоремы Гильберта были проверены в рамках проекта Mizar (см. файл HILBASIS) и Lean (см. ring_theory.polynomial).

Ссылки

  1. ^ аб Гильберт, Дэвид (1890). «Über die Theorie der алгебраических форм». Математические Аннален . 36 (4): 473–534. дои : 10.1007/BF01208503. ISSN  0025-5831. S2CID  179177713.
  2. ^ Рид 1996, стр. 34.
  3. ↑ Рид 1996, стр. 37.
  4. ^ Роман 2008, стр. 136 §5 Теорема 5.9

Дальнейшее чтение

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hilbert%27s_basis_theorem&oldid=1247504269"