Критерий Гильберта-Мамфорда

В математике критерий Гильберта –Мамфорда , введенный Дэвидом Гильбертом ^[1] и Дэвидом Мамфордом , характеризует полустабильные и стабильные точки действия группы на векторном пространстве в терминах собственных значений однопараметрических подгрупп (Dieudonné & Carrell 1970, 1971, стр. 58).

Пусть G — редуктивная группа, действующая линейно на векторном пространстве V , ненулевая точка V называется

• полуустойчив, если 0 не содержится в замыкании его орбиты, и неустойчив в противном случае;
• устойчива, если ее орбита замкнута, а ее стабилизатор конечен. Устойчивая точка a fortiori полуустойчива. Полуустойчивая, но не устойчивая точка называется строго полуустойчивой .

Когда G — мультипликативная группа , например, C ^* в комплексной постановке, действие равнозначно конечномерному представлению . Мы можем разложить V в прямую сумму , где на каждом компоненте V _i действие задается как . Целое число i называется весом. Затем для каждой точки x мы рассматриваем набор весов, в котором она имеет ненулевой компонент.${\displaystyle \mathbb {G} _{м}}$${\displaystyle \lambda \colon \mathbf {C} ^{*}\to \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle V=\textstyle \bigoplus _{i}V_{i}}$${\displaystyle \lambda (t)\cdot v=t^{i}v}$

• Если все веса строго положительны, то , поэтому 0 находится в замыкании орбиты x , т.е. x нестабилен;${\displaystyle \lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x=0}$
• Если все веса неотрицательны, а 0 является весом, то либо 0 является единственным весом, и в этом случае x стабилизируется C ^* ; либо есть некоторые положительные веса помимо 0, тогда предел равен компоненту веса 0 x , которая не находится в орбите x . Таким образом, эти два случая в точности соответствуют соответствующим нарушениям двух условий в определении устойчивой точки, т. е. мы показали, что x является строго полуустойчивым.${\displaystyle \lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x}$

Критерий Гильберта–Мамфорда по сути говорит, что случай мультипликативной группы является типичной ситуацией. А именно, для общей редуктивной группы G, действующей линейно на векторном пространстве V , устойчивость точки x может быть охарактеризована посредством изучения 1-параметрических подгрупп G , которые являются нетривиальными морфизмами . Обратите внимание, что веса для обратного в точности минус веса , поэтому утверждения можно сделать симметричными.${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {G} _{m}\to G}$${\displaystyle \лямбда ^{-1}}$${\displaystyle \лямбда}$

• Точка x нестабильна тогда и только тогда, когда существует 1-параметрическая подгруппа G , для которой x допускает только положительные веса или только отрицательные веса; эквивалентно, x является полустабильной тогда и только тогда, когда такой 1-параметрической подгруппы не существует, т. е. для каждой 1-параметрической подгруппы существуют как неположительные, так и неотрицательные веса;
• Точка x является строго полустабильной тогда и только тогда, когда существует 1-параметрическая подгруппа G , для которой x допускает 0 в качестве веса, причем все веса неотрицательны (или неположительны);
• Точка x является устойчивой тогда и только тогда, когда не существует 1-параметрической подгруппы G , для которой x допускает только неотрицательные веса или только неположительные веса, т. е. для каждой 1-параметрической подгруппы существуют как положительные, так и отрицательные веса.

Стандартный пример — действие C ^* на плоскости C ^{2 ,} определяемое как . Вес в направлении x равен 1, а вес в направлении y равен -1. Таким образом, по критерию Гильберта–Мамфорда, ненулевая точка на оси x допускает 1 в качестве своего единственного веса, а ненулевая точка на оси y допускает -1 в качестве своего единственного веса, поэтому они обе неустойчивы; общая точка на плоскости допускает как 1, так и -1 в качестве веса, поэтому она устойчива.${\displaystyle t\cdot (x,y)=(tx,t^{-1}y)}$

Много примеров возникает в задачах о модулях . Например, рассмотрим множество из n точек на рациональной кривой P ¹ (точнее, подсхему длины n в P ¹ ). Группа автоморфизмов P ¹ , PSL(2, C ), действует на такие множества (подсхемы), и критерий Гильберта–Мамфорда позволяет нам определить устойчивость при этом действии.

Мы можем линеаризовать задачу, отождествляя множество из n точек с однородным многочленом степени n от двух переменных. Поэтому мы рассматриваем действие SL(2, C ) на векторном пространстве таких однородных многочленов. Учитывая 1-параметрическую подгруппу , мы можем выбрать координаты x и y так, чтобы действие на P ¹ было задано как${\displaystyle H^{0}({\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{1}}(n))}$${\displaystyle \lambda \ двоеточие \mathbf {C} ^{*} \to \mathrm {SL} (2,\mathbf {C})}$

${\displaystyle \lambda (t)\cdot [x:y]=[t^{k}x:t^{-k}y].}$

Для однородного многочлена вида член имеет вес k (2 i - n ). Таким образом, многочлен допускает как положительные, так и отрицательные (соответственно, неположительные и неотрицательные) веса тогда и только тогда, когда есть члены с i > n /2 и i < n /2 (соответственно, i ≥ n /2 и i ≤ n /2 ). В частности, кратность x или y должна быть < n /2 (повтор. ≤ n /2). Если мы повторим по всем 1-параметрическим подгруппам, мы можем получить то же самое условие кратности для всех точек в P ¹ . По критерию Гильберта–Мамфорда многочлен (и, следовательно, множество из n точек) является устойчивым (соответственно, полуустойчивым) тогда и только тогда, когда его кратность в любой точке < n /2 (соответственно, ≤ n /2).${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{ni}}$${\displaystyle x^{i}y^{ni}}$

Аналогичный анализ с использованием однородного полинома может быть проведен для определения устойчивости плоских кубик . Критерий Гильберта–Мамфорда показывает, что плоская кубика устойчива тогда и только тогда, когда она гладкая; она полуустойчива тогда и только тогда, когда она допускает в худшем случае обычные двойные точки в качестве особенностей ; кубика с худшими особенностями (например, касп ) неустойчива.

• Геометрическая инвариантная теория
• Коэффициент ЖКТ

• Дьедонне, Жан А.; Каррелл, Джеймс Б. (1970), «Инвариантная теория, старая и новая», Advances in Mathematics , 4 : 1– 80, doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 , ISSN  0001-8708, MR  0255525
• Дьедонне, Жан А.; Каррелл, Джеймс Б. (1971), Теория инвариантов, старая и новая , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-215540-6, МР  0279102
• Харрис, Джо ; Моррисон, Ян (1998), Модули кривых , Springer , doi :10.1007/b98867
• Томас, Ричард П. (2006), «Заметки о GIT и симплектической редукции для расслоений и многообразий», Обзоры по дифференциальной геометрии , 10 , arXiv : math/0512411v3