Хиггс прайм

Простое число Хиггса , названное в честь Дениса Хиггса , — это простое число с тотиентом (на единицу меньше простого числа), который нацело делит квадрат произведения меньших простых чисел Хиггса. (Это можно обобщить до кубов, четвертых степеней и т. д.) Если выразить это алгебраически, то при наличии показателя степени a простое число Хиггса Hp _n удовлетворяет условию

\phi (Hp_{n})|\prod _{i=1}^{n-1}{Hp_{i}}^{a}{\mbox{ и }}Hp_{n}>Hp_{n-1}

где Φ( x ) — функция Эйлера .

Для квадратов первые несколько простых чисел Хиггса — это 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 43 , 47 , ... (последовательность A007459 в OEIS ). Так, например, 13 является простым числом Хиггса, потому что квадрат произведения меньших простых чисел Хиггса равен 5336100, и при делении на 12 это равно 444675. Но 17 не является простым числом Хиггса, потому что квадрат произведения меньших простых чисел равен 901800900, что дает остаток 4 при делении на 16.

Из наблюдений за первыми несколькими простыми числами Хиггса для квадратов до седьмой степени, кажется, было бы более компактно перечислить те простые числа, которые не являются простыми числами Хиггса:

Экспонента	75-е простое число Хиггса	Не простое число Хиггса ниже 75-го простого числа Хиггса
2	797	17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773
3	509	17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487.
4	409	97, 193, 257, 353, 389
5	389	193, 257
6	383	257
7	383	257

Наблюдения далее показывают, что простое число Ферма не может быть простым числом Хиггса в степени a, если a меньше ²ⁿ . $2^{2^{n}}+1$

Неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел Хиггса для любого показателя степени a, большего 1. Ситуация совершенно иная для a = 1. Их всего четыре: 2, 3, 7 и 43 (последовательность , подозрительно похожая на последовательность Сильвестра ). Беррис и Ли (1993) обнаружили, что около пятой части простых чисел ниже миллиона являются простыми числами Хиггса, и они пришли к выводу, что даже если последовательность простых чисел Хиггса для квадратов конечна, «компьютерное перечисление невыполнимо».

Ссылки

Беррис, С.; Ли, С. (1993). «Идентификации Тарского в старшей школе». Amer. Math. Monthly . 100 (3): 231–236 [стр. 233]. doi :10.1080/00029890.1993.11990393. JSTOR 2324454.
Слоан, Н.; Плуфф, С. (1995). Энциклопедия целочисленных последовательностей . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2.М0660