Теорема Прандтля–Бэтчелора

В гидродинамике теорема Прандтля–Бэтчелора утверждает, что если в двумерном ламинарном потоке при высоком числе Рейнольдса возникают замкнутые линии тока, то завихренность в области замкнутых линий тока должна быть постоянной . Аналогичное утверждение справедливо для осесимметричных потоков. Теорема названа в честь Людвига Прандтля и Джорджа Бэтчелора . Прандтль в своей знаменитой статье 1904 года сформулировал эту теорему в аргументах, [1] Джордж Бэтчелор, не зная об этой работе, доказал теорему в 1956 году. [2] [3] В том же году эту проблему также изучали Ричард Фейнман и Пако Лагерстром [4], а также В. В. Вуд в 1957 году. [5]

Математическое доказательство

При больших числах Рейнольдса двумерная задача, управляемая двумерными уравнениями Эйлера, сводится к решению задачи для функции тока , которая удовлетворяет ψ {\displaystyle \пси}

∇ 2 ψ = − ω ( ψ ) , ψ = ψ о  на  ∂ Д {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\omega (\psi ),\quad \psi =\psi _{o}{\text{ on }}\partial D}

где — единственный ненулевой компонент завихренности в -направлении вектора завихренности. В существующем виде задача некорректно поставлена, поскольку распределение завихренности может иметь бесконечное число возможностей, все из которых удовлетворяют уравнению и граничному условию. Это неверно, если ни одна линия тока не замкнута, в этом случае каждую линию тока можно проследить до границы, где и, следовательно, ее соответствующая завихренность заданы. Трудность возникает только тогда, когда внутри области есть некоторые замкнутые линии тока, которые не соединяются с границей, и можно предположить, что при высоких числах Рейнольдса не определено однозначно в областях, где встречаются замкнутые линии тока. Однако теорема Прандтля–Бэтчелора утверждает, что это не так, и в таких случаях она определяется однозначно посредством надлежащего изучения предельного процесса . ω {\displaystyle \омега} з {\displaystyle z} ω ( ψ ) {\displaystyle \omega (\psi)} ∂ Д {\displaystyle \partial D} ψ {\displaystyle \пси} ω ( ψ ) {\displaystyle \omega (\psi)} ω ( ψ ) {\displaystyle \omega (\psi)} ω ( ψ ) {\displaystyle \omega (\psi)} Р е → ∞ {\displaystyle Re\rightarrow \infty}

Уравнение устойчивого безразмерного вихря в нашем случае сводится к

ты ⋅ ∇ ω = 1 Р е ∇ 2 ω . {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {\omega } = {\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}\omega .}

Интегрируем уравнение по поверхности, лежащей целиком в области, где у нас есть замкнутые линии тока, ограниченные замкнутым контуром. С {\displaystyle S} С {\displaystyle С}

∫ С ты ⋅ ∇ ω г С = 1 Р е ∫ С ∇ 2 ω г С . {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {\omega } \,d\mathbf {S} = {\frac {1}{\mathrm {Re} }}\int _ {S}\набла ^{2}\omega \,d\mathbf {S} .}

Подынтегральное выражение в левой части можно записать как, поскольку . По теореме о расходимости получаем ∇ ⋅ ( ω ты ) {\displaystyle \nabla \cdot (\omega \mathbf {u})} ∇ ⋅ ты = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}

∮ С ω ты ⋅ н г л = 1 Р е ∮ С ∇ ω ⋅ н г л . {\displaystyle \oint _{C}\omega \mathbf {u} \cdot \mathbf {n} dl={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}\nabla \omega \ cdot \mathbf {n} дл.}

где — внешний единичный вектор, нормальный к элементу контурной линии . Левая часть подынтегральной функции может быть сделана нулевой, если контур взять как одну из замкнутых линий тока, так как тогда вектор скорости, спроецированный нормально к контуру, будет равен нулю, то есть . Таким образом, получается н {\displaystyle \mathbf {н} } г л {\displaystyle дл} С {\displaystyle С} ты ⋅ н = 0 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {n} =0}

1 Р е ∮ С ∇ ω ⋅ н   г л = 0 {\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}\nabla \omega \cdot \mathbf {n} \ dl=0}

Это выражение справедливо для конечного, но большого числа Рейнольдса, поскольку ранее мы не пренебрегали вязким членом.

В отличие от двумерных невязких течений, где поскольку без ограничений на функциональную форму , в вязких течениях . Но при больших, но конечных , можно записать , и эти малые поправки становятся все меньше и меньше по мере увеличения числа Рейнольдса. Таким образом, в пределе , в первом приближении (пренебрегая малыми поправками), имеем ω = ω ( ψ ) {\displaystyle \omega =\omega (\psi)} ты ⋅ ∇ ω = 0 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \omega =0} ω {\displaystyle \омега} ω ≠ ω ( ψ ) {\displaystyle \omega \neq \omega (\psi)} Р е {\displaystyle \mathrm {Re} } ω = ω ( ψ ) + с м а л л   с о г г е с т я о н с {\displaystyle \omega =\omega (\psi )+{\rm {небольшие\ поправки}}} Р е → ∞ {\displaystyle \mathrm {Re} \rightarrow \infty}

1 Р е ∮ С ∇ ω ⋅ н   г л = 1 Р е ∮ С г ω г ψ ∇ ψ ⋅ н   г л = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}\nabla \omega \cdot \mathbf {n} \ dl={\frac {1}{\mathrm {Re} } }\oint _{C}{\frac {d\omega }{d\psi }}\nabla \psi \cdot \mathbf {n} \ dl=0.}

Так как является постоянным для данной линии тока, мы можем вынести этот член за пределы интеграла, г ω / г ψ {\displaystyle d\omega /d\psi }

1 Р е г ω г ψ ∮ С ∇ ψ ⋅ н   г л = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Re} }}{\frac {d\omega }{d\psi }}\oint _{C}\nabla \psi \cdot \mathbf {n} \ dl =0.}

Можно заметить, что интеграл циркуляции отрицателен , поскольку

Г = − ∮ С ты ⋅ г л = − ∫ С ω г С = ∫ С ∇ 2 ψ г С = ∮ С ∇ ψ ⋅ н г л {\displaystyle \Gamma =-\oint _{C}\mathbf {u} \cdot d\mathbf {l} =-\int _{S} \omega d\mathbf {S} =\int _{S}\ nabla ^{2}\psi d\mathbf {S} =\oint _{C}\nabla \psi \cdot \mathbf {n} dl}

где мы использовали теорему Стокса для циркуляции и . Таким образом, мы имеем ω = − ∇ 2 ψ {\displaystyle \omega =-\nabla ^{2}\psi }

Г Р е г ω г ψ = 0. {\displaystyle {\frac {\Gamma }{\mathrm {Re} }}{\frac {d\omega }{d\psi }}=0.}

Циркуляция вокруг этих замкнутых линий тока не равна нулю (если только скорость в каждой точке линии тока не равна нулю с возможным прерывистым скачком вихреобразования через линию тока). Единственный способ, которым приведенное выше уравнение может быть удовлетворено, это только если

г ω г ψ = 0 , {\displaystyle {\frac {d\omega }{d\psi }}=0,}

т.е. завихренность не меняется поперек этих замкнутых линий тока, тем самым доказывая теорему. Конечно, теорема не верна внутри режима пограничного слоя. Эта теорема не может быть выведена из уравнений Эйлера. [6]

Ссылки

  1. ^ Прандтль, Л. (1904). Über Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Верхандл. III, Междунар. Math.-Kong., Heidelberg, Teubner, Leipzig, 1904, 484–491.
  2. ^ Batchelor, GK (1956). Об устойчивом ламинарном течении с замкнутыми линиями тока при больших числах Рейнольдса. Журнал механики жидкости, 1(2), 177–190.
  3. ^ Дэвидсон, П. А. (2016). Введение в магнитогидродинамику (т. 55). Издательство Кембриджского университета.
  4. ^ Фейнман, РП и Лагерстром, ПА (1956). Замечания о потоках с высоким числом Рейнольдса в конечных областях. В Трудах IX Международного конгресса по прикладной механике (т. 3, стр. 342-343).
  5. ^ Wood, WW (1957). Пограничные слои, линии тока которых замкнуты. Журнал механики жидкости, 2(1), 77-87.
  6. ^ Лагерстром, П. А. (1975). Решения уравнения Навье–Стокса при больших числах Рейнольдса. Журнал SIAM по прикладной математике, 28(1), 202–214.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Prandtl–Batchelor_theorem&oldid=1194125256"