кольцо Германа

В математической дисциплине, известной как комплексная динамика , кольцо Германа представляет собой компонент Фату ^[1] , где рациональная функция конформно сопряжена с иррациональным вращением стандартного кольца .

А именно, если ƒ обладает кольцом Германа U с периодом p , то существует конформное отображение

${\displaystyle \phi:U\rightarrow \{\zeta:0<r<|\zeta |<1\}}$

и иррациональное число , такое что${\displaystyle \тета}$

${\displaystyle \phi \circ f^{\circ p}\circ \phi ^{-1}(\zeta)=e^{2\pi i\theta }\zeta.}$

Итак, динамика кольца Германа проста.

Он был введен и позднее назван в честь Майкла Германа (1979 ^[2] ), который первым обнаружил и сконструировал этот тип компонента Фату.

• Многочлены не имеют колец Германа.
• Рациональные функции могут иметь кольца Германа. Согласно результату Шишикуры, если рациональная функция ƒ обладает кольцом Германа, то степень ƒ не менее 3.
• Трансцендентные целые карты их не имеют ^[3]
• Мероморфные функции могут обладать кольцами Германа. Кольца Германа для трансцендентных мероморфных функций изучались Т. Наяком. Согласно результату Наяка, если для такой функции имеется пропущенное значение, то кольца Германа периода 1 или 2 не существуют. Также доказано, что если имеется только один полюс и хотя бы одно пропущенное значение, то функция не имеет кольца Германа любого периода.

Вот пример рациональной функции, обладающей кольцом Германа. ^[1]

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}}$

где такое, что число вращения ƒ на единичной окружности равно .${\displaystyle \тау =0,6151732\точки}$${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)/2}$

На рисунке справа показано множество Жюлиа функции ƒ : кривые в белом кольце — это орбиты некоторых точек при итерациях функции ƒ , а пунктирная линия обозначает единичную окружность.

Существует пример рациональной функции, которая обладает одновременно кольцом Германа и некоторыми периодическими параболическими компонентами Фату .

Далее, существует рациональная функция, обладающая кольцом Германа с периодом 2.

Здесь выражение этой рациональной функции имеет вид

${\displaystyle g_{a,b,c}(z)={\frac {z^{2}(za)}{zb}}+c,\,}$

где

${\displaystyle {\begin{align}a&=0,17021425+0,12612303i,\\b&=0,17115266+0,12592514i,\\c&=-1,18521775-0,16885254i.\end{align}}}$

Этот пример был построен с помощью квазиконформной хирургии ^[4] из квадратичного полинома

${\displaystyle h(z)=z^{2}-1-{\frac {e^{{\sqrt {5}}\pi i}}{4}}}$

который обладает диском Зигеля с периодом 2. Параметры a ,  b ,  c вычисляются методом проб и ошибок .

Сдача в аренду

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.14285933+0.06404502i,\\b&=0.14362386+0.06461542i,{\text{ and}}\\c&=-0.18242894-0.81957139i,\end{aligned}}}$

тогда период одного из колец Германа g _{a , b , c} равен 3.

Шишикура также привел пример: ^[5] рациональная функция, которая обладает кольцом Германа с периодом 2, но параметры, показанные выше, отличаются от его.

Возникает вопрос: как найти формулы рациональных функций, обладающих кольцами Германа с более высоким периодом?

На этот вопрос можно ответить (для любого периода > 0), используя множество Мандельброта для рациональных функций g _{a , b , c} . Классическое множество Мандельброта (для квадратичных многочленов) аппроксимируется путем итерации критической точки для каждого такого многочлена и определения многочленов, для которых итерации критической точки не сходятся к бесконечности. Аналогично множество Мандельброта можно определить для множества рациональных функций g _{a , b , c ,} различая значения (a, b, c) в комплексном 3-мерном пространстве, для которых все три критические точки (т. е. точки, где производная обращается в нуль) функции сходятся к бесконечности, и значения, критические точки которых не все сходятся к бесконечности. 

Для каждого значения a и b множество Мандельброта для g _{a , b , c}   может быть вычислено в плоскости комплексных значений c. Когда a и b почти равны, это множество аппроксимирует классическое множество Мандельброта для квадратичных многочленов, поскольку   g _{a , b , c} равно x ² + c при a = b. В классическом множестве Мандельброта диски Зигеля могут быть аппроксимированы путем выбора точек вдоль края множества Мандельброта с иррациональным числом витков, имеющим разложение в непрерывную дробь с ограниченными знаменателями. Иррациональные числа, конечно, аппроксимируются только в их компьютерном представлении. Эти знаменатели могут быть идентифицированы по последовательности узлов вдоль края множества Мандельброта, приближающегося к точке. Аналогично кольца Германа можно идентифицировать в множестве Мандельброта рациональных функций, наблюдая ряд узлов, расположенных по обе стороны кривой, и выбирая точки вдоль этой кривой, избегая присоединенных узлов, тем самым получая желаемую последовательность знаменателей в разложении непрерывной дроби числа вращения. Ниже показан плоский срез множества Мандельброта g _{a , b , c} с |ab| = .0001 и с c, центрированным на значении c, которое идентифицирует 5-цикл дисков Зигеля в классическом множестве Мандельброта.

Изображение выше использует a = 0,12601278 + 0,0458649i, b = 0,12582484 + 0,045796497i и центрировано на значении c = 0,3688 - 0,3578, что близко к 5 циклам дисков Зигеля в классическом множестве Мандельброта. На изображении выше 5 циклов колец Германа можно аппроксимировать, выбрав точку c вдоль проиллюстрированной выше кривой с узлами с обеих сторон, для которой g _{a , b , c} имеет приблизительно желаемое число витков, используя следующие значения:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=.12601278+.0458649i,\\b&=.12582484+.045796497i,{\text{ and}}\\c&=0.37144067-.35829275i,\end{aligned}}}$

Полученный 5-цикл колец Германа показан ниже:

• Кролик Дуади
• диск Сигеля