Гармоничный комплект

В математике гармоничное множество — это подмножество локально компактной абелевой группы , на которой каждый слабый характер может быть равномерно аппроксимирован сильными характерами. Эквивалентно, соответствующим образом определенное дуальное множество относительно плотно в дуальном по Понтрягину множестве группы. Это понятие было введено Ивом Мейером в 1970 году и позже, как оказалось, сыграло важную роль в математической теории квазикристаллов . Некоторые связанные понятия — модельные множества , множества Мейера и множества разрезания и проекции .

Пусть Λ — подмножество локально компактной абелевой группы G , а Λ _d — подгруппа G , порождённая Λ , с дискретной топологией . Слабый характер — это ограничение на Λ алгебраического гомоморфизма из Λ _d в группу окружности :

${\displaystyle \chi:\Lambda _{d}\to \mathbf {T},\quad \chi \in \operatorname {Hom} (\Lambda _{d},\mathbf {T}).}$

Сильный характер — это ограничение на Λ непрерывного гомоморфизма из G в T , то есть элемент двойственного по Понтрягину к G .

Множество Λ является гармоничным , если каждый слабый характер может быть аппроксимирован сильными характерами равномерно на Λ . Таким образом, для любого ε > 0 и любого слабого характера χ существует сильный характер ξ такой, что

${\displaystyle \sup _{\Lambda}|\chi (\lambda)-\xi (\lambda)|\leq \epsilon,\quad \chi \in \operatorname {Hom} (\Lambda _{d},\ mathbf {T}),\xi \in {\hat {G}}.}$

Если локально компактная абелева группа G отделима и метризуема (ее топология может быть определена инвариантной относительно трансляции метрикой), то гармоничные множества допускают другое, связанное описание. Для заданного подмножества Λ группы G и положительного ε пусть M _ε будет подмножеством двойственного по Понтрягину группы G, состоящим из всех характеров, которые почти тривиальны на Λ :

${\displaystyle \sup _{\Lambda }|\chi (\lambda )-1|\leq \epsilon ,\quad \chi \in {\hat {G}}.}$

Тогда Λ гармонично , если множества M _ε относительно плотны в смысле Безиковича : для любого ε > 0 существует компактное подмножество K _ε сопряженного по Понтрягину множества такое, что

${\displaystyle M_{\epsilon }+K_{\epsilon }={\hat {G}}.}$

• Подмножество гармоничного множества является гармоничным.
• Если Λ — гармоничное множество, а F — конечное множество, то множество Λ + F также является гармоничным.

Следующие два свойства показывают, что понятие гармоничного множества нетривиально только тогда, когда окружающая группа не является ни компактной, ни дискретной.

• Конечное множество Λ всегда гармонично. Если группа G компактна, то, наоборот, каждое гармоничное множество конечно.
• Если G — дискретная группа , то каждое множество гармонично.

Интересные примеры мультипликативно замкнутых гармонических множеств действительных чисел возникают в теории диофантовых приближений .

• Пусть G — аддитивная группа действительных чисел , θ >1, а множество Λ состоит из всех конечных сумм различных степеней θ . Тогда Λ гармонична тогда и только тогда, когда θ — число Пизо . В частности, последовательность степеней числа Пизо гармонична.
• Пусть K — поле действительных алгебраических чисел степени n над Q , а множество Λ состоит из всех чисел Пизо или Салема степени n в K. Тогда Λ содержится в открытом интервале (1,∞), замкнуто относительно умножения и гармонично. Обратно, любое множество действительных чисел с этими 3 свойствами состоит из всех чисел Пизо или Салема степени n в некотором поле действительных алгебраических чисел K степени n .

• Почти периодическая функция

• Ив Мейер , Алгебраические числа и гармонический анализ , Математическая библиотека Северной Голландии, т.2, Северная Голландия, 1972