Номер Салема

Тип алгебраического целого числа
График корней полинома Лемера с соответствующим числом Сейлема рядом, выделенным золотым цветом. х = 1.17628 {\displaystyle x=1.17628}

В математике число Салема — это действительное алгебраическое целое число , все сопряженные корни которого имеют абсолютное значение не больше 1, и по крайней мере один из которых имеет абсолютное значение точно 1. Числа Салема представляют интерес в диофантовых приближениях и гармоническом анализе . Они названы в честь Рафаэля Салема . α > 1 {\displaystyle \альфа >1}

Характеристики

Поскольку он имеет корень с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть обратным многочленом . Это подразумевает, что также является корнем, и что все остальные корни имеют абсолютную величину ровно один. Как следствие, α должен быть единицей в кольце целых алгебраических чисел, имея норму 1. 1 / α {\displaystyle 1/\альфа}

Каждое число Салема является числом Перрона (действительное алгебраическое число, большее единицы, все сопряженные числа которого имеют меньшее абсолютное значение).

Связь с числами Писо – Виджаярагавана

Наименьшее известное число Сейлема — это наибольший действительный корень многочлена Лемера (названного в честь Деррика Генри Лемера ).

П ( х ) = х 10 + х 9 − х 7 − х 6 − х 5 − х 4 − х 3 + х + 1 , {\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1,}

что составляет около : предполагается , что это действительно наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера неприводимого нециклотомического многочлена. [1] х = 1.17628 {\displaystyle x=1.17628}

Многочлен Лемера является множителем более короткого многочлена степени -12,

В ( х ) = х 12 − х 7 − х 6 − х 5 + 1 , {\displaystyle Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,}

все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношению [2]

х 630 − 1 = ( х 315 − 1 ) ( х 210 − 1 ) ( х 126 − 1 ) 2 ( х 90 − 1 ) ( х 3 − 1 ) 3 ( х 2 − 1 ) 5 ( х − 1 ) 3 ( х 35 − 1 ) ( х 15 − 1 ) 2 ( х 14 − 1 ) 2 ( х 5 − 1 ) 6 х 68 {\displaystyle x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}}

Числа Салема могут быть построены из чисел Пизо–Виджаярагхавана . Напомним, что наименьшее из последних — это единственный действительный корень кубического многочлена ,

х 3 − х − 1 , {\displaystyle x^{3}-x-1,}

известное как пластическое отношение и приблизительно равное 1,324718. Это может быть использовано для генерации семейства чисел Салема, включая наименьшее из найденных на данный момент. Общий подход заключается в том, чтобы взять минимальный многочлен числа Писота–Виджаярагхавана и его обратный многочлен , и решить уравнение, П ( х ) {\displaystyle P(x)} П ∗ ( х ) {\displaystyle P^{*}(x)}

х н П ( х ) = ± П ∗ ( х ) {\displaystyle x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)}

для целого числа выше границы. Вычитание одной стороны из другой, факторизация и игнорирование тривиальных множителей дадут минимальный многочлен некоторых чисел Салема. Например, используя отрицательный случай выше, н {\displaystyle n}

х н ( х 3 − х − 1 ) = − ( х 3 + х 2 − 1 ) {\displaystyle x^{n}(x^{3}-x-1)=-(x^{3}+x^{2}-1)}

тогда для , это факторы как, н = 8 {\displaystyle n=8}

( х − 1 ) ( х 10 + х 9 − х 7 − х 6 − х 5 − х 4 − х 3 + х + 1 ) = 0 {\displaystyle (x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1)=0}

где децик — это полином Лемера. Использование выше даст семейство с корнем, приближающимся к пластическому отношению. Это можно лучше понять, взяв корни обеих сторон, н {\displaystyle n} н {\displaystyle n}

х ( х 3 − х − 1 ) 1 / н = ± ( х 3 + х 2 − 1 ) 1 / н {\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n}}

так как идет выше, будет приближаться к решению . Если используется положительный случай, то приближается к пластическому отношению с противоположного направления. Использование минимального полинома следующего наименьшего числа Пизо–Виджаярагхавана дает н {\displaystyle n} х {\displaystyle x} х 3 − х − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x-1=0} х {\displaystyle x}

х н ( х 4 − х 3 − 1 ) = − ( х 4 + х − 1 ) , {\displaystyle x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),}

который для факторов как н = 7 {\displaystyle n=7}

( х − 1 ) ( х 10 − х 6 − х 5 − х 4 + 1 ) = 0 , {\displaystyle (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0,}

децик, не сгенерированный в предыдущем и имеющий корень , который является 5-м наименьшим известным числом Салема. Как , это семейство в свою очередь стремится к большему действительному корню . х = 1.216391 … {\displaystyle x=1.216391\ldots} н → ∞ {\displaystyle n\to \infty } х 4 − х 3 − 1 = 0 {\displaystyle x^{4}-x^{3}-1=0}

Ссылки

  1. ^ Борвейн (2002) стр.16
  2. ^ Д. Бейли и Д. Бродхерст, Лестница полилогарифмов семнадцатого порядка
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Salem_number&oldid=1211467518"