Распределение полукруга Вигнера
Распределение вероятностей
полукруг Вигнера
Функция плотности вероятности
График полукруга Вигнера PDF
Кумулятивная функция распределения
График полукруга Вигнера CDF
Параметры Р > 0 {\displaystyle R>0\!} радиус ( действительный )
Поддерживать х ∈ [ − Р ; + Р ] {\displaystyle x\in [-R;+R]\!}
PDF 2 π Р 2 Р 2 − х 2 {\displaystyle {\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!}
СДФ 1 2 + х Р 2 − х 2 π Р 2 + арксинус ( х Р ) π {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}\!}
для − Р ≤ х ≤ Р {\displaystyle -R\leq x\leq R}
Иметь в виду 0 {\displaystyle 0\,}
Медиана 0 {\displaystyle 0\,}
Режим 0 {\displaystyle 0\,}
Дисперсия Р 2 4 {\displaystyle {\frac {R^{2}}{4}}\!}
Асимметрия 0 {\displaystyle 0\,}
Избыточный эксцесс − 1 {\displaystyle -1\,}
Энтропия вн ⁡ ( π Р ) − 1 2 {\displaystyle \ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}\,}
МГФ 2 я 1 ( Р т ) Р т {\displaystyle 2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}}
CF 2 Дж. 1 ( Р т ) Р т {\displaystyle 2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}}

Распределение полукруга Вигнера , названное в честь физика Юджина Вигнера , представляет собой распределение вероятностей, определенное на области [− R , R ], функция плотности вероятности f которого представляет собой масштабированную полуокружность, т. е. полуэллипс с центром в точке (0, 0):

ф ( х ) = 2 π Р 2 Р 2 − х 2 {\displaystyle f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,}

для − R ≤ x ≤ R и f ( x ) = 0, если |x| > R. Параметр R обычно называют параметром «радиуса» распределения.

Распределение возникает как предельное распределение собственных значений многих случайных симметричных матриц , то есть, когда размеры случайной матрицы стремятся к бесконечности. Распределение интервалов или зазоров между собственными значениями рассматривается с помощью одноименной догадки Вигнера .

Общие свойства

Из-за симметрии все нечетные моменты распределения Вигнера равны нулю. Для положительных целых чисел n 2 n -й момент этого распределения равен

1 н + 1 ( Р 2 ) 2 н ( 2 н н ) {\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\left({R \over 2}\right)^{2n}{2n \choose n}\,}

В типичном частном случае, когда R = 2 , эта последовательность совпадает с числами Каталана 1, 2, 5, 14 и т. д. В частности, второй момент равен R 2 ⁄ 4 , а четвертый момент равен R 4 ⁄ 8 , что показывает, что избыточный эксцесс равен −1 . [1] Как можно вычислить с помощью теоремы о вычетах , преобразование Стилтьеса распределения Вигнера определяется выражением

с ( з ) = − 2 Р 2 ( з − з 2 − Р 2 ) {\displaystyle s(z)=-{\frac {2}{R^{2}}}(z- {\sqrt {z^{2}-R^{2}}})}

для комплексных чисел z с положительной мнимой частью, где комплексный квадратный корень принимается имеющим положительную мнимую часть. [2]

Распределение Вигнера совпадает с масштабированным и смещенным бета-распределением : если Y является бета-распределенной случайной величиной с параметрами α = β = 3 ⁄ 2 , то случайная величина 2 RY – R демонстрирует полукруговое распределение Вигнера с радиусом R . С помощью этого преобразования легко напрямую вычислить некоторые статистические величины для распределения Вигнера в терминах величин для бета-распределений, которые более известны. [3]

Многочлены Чебышева второго рода являются ортогональными многочленами относительно распределения полукруга Вигнера радиуса 1. [4 ]

Характеристическая функция и функция создания момента

Характеристическую функцию распределения Вигнера можно определить из характеристической функции бета-переменной Y :

φ ( т ) = е − я Р т φ И ( 2 Р т ) = е − я Р т 1 Ф 1 ( 3 2 ; 3 ; 2 я Р т ) = 2 Дж. 1 ( Р т ) Р т , {\displaystyle \varphi (t)=e^{-iRt}\varphi _{Y}(2Rt)=e^{-iRt}{}_{1}F_{1}\left({\frac {3}{2}};3;2iRt\right)={\frac {2J_{1}(Rt)}{Rt}},}

где 1 F 1 — конфлюэнтная гипергеометрическая функция , а J 1 — функция Бесселя первого рода .

Аналогично функция генерации момента может быть рассчитана как

М ( т ) = е − Р т М И ( 2 Р т ) = е − Р т 1 Ф 1 ( 3 2 ; 3 ; 2 Р т ) = 2 я 1 ( Р т ) Р т {\displaystyle M(t)=e^{-Rt}M_{Y}(2Rt)=e^{-Rt}{}_{1}F_{1}\left({\frac {3}{2}};3;2Rt\right)={\frac {2I_{1}(Rt)}{Rt}}}

где I 1 — модифицированная функция Бесселя первого рода . Окончательные равенства в обеих приведенных выше строках — это известные тождества, связывающие вырожденную гипергеометрическую функцию с функциями Бесселя. [5]

Отношение к свободной вероятности

В свободной теории вероятностей роль полукругового распределения Вигнера аналогична роли нормального распределения в классической теории вероятностей. А именно, в свободной теории вероятностей роль кумулянтов занимают «свободные кумулянты», чья связь с обычными кумулянтами заключается просто в том, что роль множества всех разбиений конечного множества в теории обычных кумулянтов заменяется множеством всех непересекающихся разбиений конечного множества. Так же, как кумулянты степени больше 2 распределения вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение нормальное, так и свободные кумулянты степени больше 2 распределения вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение является полукруговым распределением Вигнера.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Андерсон, Гионнет и Зейтуни, 2010, раздел 2.1.1; Бай и Сильверстайн, 2010 г., раздел 2.1.1.
  2. ^ Андерсон, Гионнет и Зейтуни, 2010, раздел 2.4.1; Бай и Сильверстайн, 2010 г., раздел 2.3.1.
  3. ^ Джонсон, Коц и Балакришнан 1995, раздел 25.3.
  4. ^ См. таблицу 18.3.1 Олвера и др. (2010).
  5. ^ См. идентификаторы 10.16.5 и 10.39.5 Олвера и др. (2010).

Литература

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Wigner_semicircle_distribution&oldid=1249902009"